REKTANGULÄRA KOMPONENTER I EN VEKTOR (MED ÖVNINGAR) - MATTE - 2025

De rektangulära komponenterna i en vektor är de data som utgör den vektorn. För att bestämma dem är det nödvändigt att ha ett koordinatsystem, som i allmänhet är det kartesiska planet.

När du har en vektor i ett koordinatsystem kan du beräkna dess komponenter. Dessa är 2, en horisontell komponent (parallell med X-axeln), kallad "X-axelkomponenten", och en vertikal komponent (parallell med Y-axeln), kallad "Y-axelkomponenten."

Grafisk representation av de rektangulära komponenterna i en vektor

För att bestämma komponenterna är det nödvändigt att känna till vissa data om vektorn, såsom dess storlek och vinkeln som den bildar med X-axeln.

Hur bestämmer de rektangulära komponenterna i en vektor?

För att bestämma dessa komponenter måste vissa förhållanden mellan rätt trianglar och trigonometriska funktioner vara kända.

I följande bild kan du se det här förhållandet.

Förhållanden mellan rätt trianglar och trigonometriska funktioner

En vinkels sinus är lika med kvoten mellan måttet på benet mittemot vinkeln och måttet på hypotenusen.

Å andra sidan är kosinus i en vinkel lika med kvoten mellan måtten på benet intill vinkeln och måtten på hypotenusen.

Vinkelens tangens är lika med kvoten mellan måttet på motsatt ben och måttet på det intilliggande benet.

I alla dessa förhållanden är det nödvändigt att upprätta motsvarande rätt triangel.

Finns det andra metoder?

Ja. Beroende på de data som tillhandahålls kan sättet att beräkna de rektangulära komponenterna i en vektor variera. Ett annat allmänt använt verktyg är Pythagorean Theorem.

övningar

Följande övningar implementerar definitionen av de rektangulära komponenterna i en vektor och de förhållanden som beskrivs ovan.

Första övningen

Det är känt att en vektor A har en storlek som är lika med 12 och vinkeln som den gör med X-axeln har ett mått på 30 °. Bestäm de rektangulära komponenterna i nämnda vektor A.

Lösning

Om bilden uppskattas och formlerna som beskrivs ovan kan man dra slutsatsen att komponenten i Y-axeln för vektor A är lika med

sin (30 °) = Vy / 12, och därför Vy = 12 * (1/2) = 6.

Å andra sidan har vi att komponenten på X-axeln för vektor A är lika med

cos (30 °) = Vx / 12, och därför Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

Andra övningen

Om vektor A har en storlek lika med 5 och komponenten på x-axeln är lika med 4, bestäm värdet på komponenten för A på y-axeln.

Lösning

Med hjälp av den Pythagorese teorem har vi att storleken på vektor A-kvadrat är lika med summan av kvadraterna för de två rektangulära komponenterna. Det vill säga M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Att ersätta de givna värdena måste du

5² = (4) ² + (Vy) ², därför 25 = 16 + (Vy) ².

Detta innebär att (Vy) ² = 9 och följaktligen Vy = 3.

Tredje övningen

Om vektor A har en storlek som är lika med 4 och den gör en vinkel på 45 ° med X-axeln, bestämmer de rektangulära komponenterna i den vektorn.

Lösning

Med hjälp av förhållandena mellan en höger triangel och de trigonometriska funktionerna kan man dra slutsatsen att komponenten på Y-axeln för vektor A är lika med

sin (45 °) = Vy / 4, och därför Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Å andra sidan har vi att komponenten på X-axeln för vektor A är lika med

cos (45 °) = Vx / 4, och därför Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

referenser

1. Landaverde, FD (1997). Geometri (omtryckt red.). Framsteg.
2. Leake, D. (2006). Trianglar (illustrerad red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. Teknologisk av CR.
5. Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometri och analytisk geometri. Pearson Education.