REKTANGULÄRA KOORDINATER: EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE

De rektangulära koordinaterna eller kartesiska är de som erhålls på den ortogonalt utskjutande av de tre kartesiska axlarna X, Y, Z, en punkt belägen i tredimensionellt rymd.

Kartesiska axlar är ömsesidigt orienterade linjer vinkelräta mot varandra. I det kartesiska koordinatsystemet tilldelas varje punkt i rymden tre verkliga nummer som är dess rektangulära koordinater.

Figur 1. Rektangulära koordinater för punkt P (Egen utarbetande)

Ett plan är ett underområde i tredimensionellt rymd. Om man överväger punkter på ett plan, räcker det att välja ett par vinkelräta axlar X, Y som kartesiska system. Sedan tilldelas varje punkt på planet två riktiga nummer som är dess rektangulära koordinater.

Ursprunget för rektangulära koordinater

Rektangulära koordinater föresloges ursprungligen av den franska matematikern René Descartes (1596 och 1650), varför de kallas Cartesian.

Med denna idé om Descartes tilldelas planet och rymdpunkterna siffror, så att de geometriska figurerna har en algebraisk ekvation associerad och de klassiska geometriska teorema kan bevisas algebraiskt. Med de kartesiska koordinaterna föds analytisk geometri.

Det kartesiska planet

Om i ett plan väljs två vinkelräta linjer som korsar varandra vid en punkt O; och om varje rad dessutom tilldelas en riktning och en numerisk skala mellan på varandra följande ekvidistanta punkter, finns det ett kartesiskt system eller plan i vilket varje punkt i planet är associerat med ett ordnat par av två reella tal som är deras projektioner respektive på X- och Y-axlarna.

Punkterna A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) och D = (3, -3) representeras i det kartesiska planet som visas nedan:

Figur 2. Poäng i det kartesiska planet. (Egen utarbetande)

Observera att de två axlarna X och Y delar planet i fyra sektorer som kallas kvadranter. Punkt A är i den första kvadranten, punkt B är i den andra kvadranten, punkt C är i den tredje kvadranten och punkt D är i den fjärde kvadranten.

Avståndet mellan två punkter

Avståndet mellan två punkter A och B på det kartesiska planet är längden på segmentet som förbinder dem. Detta avstånd kan beräknas analytiskt enligt följande:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Ovanstående formel erhålls genom applicering av Pythagorean-stämningen.

Att använda denna formel på punkterna A, B i figur 2 har vi:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Det vill säga d (A, B) = 5,10 enheter. Observera att avståndet erhölls utan att behöva mäta med en linjal, en helt algebraisk procedur har följts.

Analytiskt uttryck för en linje

Rektangulära koordinater möjliggör analytisk representation av grundläggande geometriska objekt som punkten och linjen. Två punkter A och B definierar en enda rad. Linjens lutning definieras som kvoten mellan skillnaden mellan Y-koordinaterna för punkt B minus A, dividerat med skillnaden mellan X-koordinaterna för punkt B minus A:

sluttning = (By - Ay) / (Bx - Axe)

Alla punkter P på koordinaterna (x, y) som tillhör linjen (AB) måste ha samma lutning:

lutning = (y - Ay) / (x - Ax)

Ekvationen som erhålls genom lutningen mellan lutningarna är den analytiska eller algebraiska representationen av linjen som passerar genom punkterna A och B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Om vi tar för A och B de rektangulära koordinaterna i figur 2 har vi:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

I detta specifika fall har vi en linje med en negativ lutning -⅕, vilket innebär att genom att lokalisera på en punkt på linjen och öka x-koordinaten med en enhet, minskar y-koordinaten med 0,2 enheter.

Det vanligaste sättet att skriva ekvationen för linjen i planet är med y-koordinaten rensad som en funktion av variabeln x:

y = - (1/5) x + 13/5

exempel

Exempel 1

Skaffa med analysmetoder avståndet mellan punkterna C och A, som är de rektangulära koordinaterna för C = (-2, -3) och de för A = (3,2).

Formeln för det euklidiska avståndet mellan dessa två punkter är skrivet så här:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Att ersätta deras motsvarande rektangulära koordinater har vi:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Exempel 2

Skaffa ekvationen för linjen som passerar genom punkt C för koordinater (-2, -3) och punkt P för koordinater (2, 0).

Först erhålles lutningen för linjen CP:

lutning = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Varje punkt Q i generiska rektangulära koordinater (x, y) som tillhör linjen CP måste ha samma lutning:

lutning = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Med andra ord är ekvationen för linjen CP:

(y +3) / (x +2) = ¾

Ett alternativt sätt att skriva ekvationen för raden CP är att lösa för y:

y = ¾ x - 3/2

Lösta övningar

Övning 1

Skaffa de rektangulära koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna y = - (1/5) x + 13/5 och linjen y = ¾ x - 3/2.

Lösning: Per definition delar skärningspunkten mellan de två linjerna samma rektangulära koordinater. Därför är y-koordinaterna vid skärningspunkten identiska för båda linjerna:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

vilket leder till följande uttryck:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

lösa summan av bråk som vi får:

19/20 x = 41/10

Lösning för x:

x = 82/19 = 4,32

För att erhålla y-värdet för skärningspunkten ersätts det erhållna x-värdet i någon av linjerna:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Detta betyder att de givna linjerna korsar varandra vid punkten I för koordinaterna I = (4.32, 1.74).

Övning 2

Skaffa ekvationen för omkretsen som passerar genom punkten R för rektangulära koordinater (3, 4) och som har dess centrum vid ursprunget till koordinaterna.

Lösning: Radien R är avståndet från punkt R till ursprung O för koordinaterna (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Det vill säga, det är en cirkel med radie 5 centrerad vid (0,0).

Alla punkter P (x, y) på omkretsen måste ha samma avstånd 5 från centrum (0, 0) så det kan skrivas:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Det vill säga:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

För att eliminera kvadratroten är båda medlemmarna i jämställdheten kvadratiska och får:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Vad är ekvationen för omkretsen.

Detta exempel illustrerar kraften hos det rektangulära koordinatsystemet, som gör det möjligt att bestämma geometriska föremål, såsom omkretsen, utan att behöva använda papper, penna och kompass. Den begärda omkretsen har bestämts enbart med algebraiska metoder.

referenser

Arfken G och Weber H. (2012). Matematiska metoder för fysiker. En omfattande guide. 7: e upplagan. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Beräkning cc. Löst problem med rektangulära koordinater. Återställd från: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Cartesianska koordinater." Från MathWorld-A Wolfram Web. Återställd från: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Kartesianska koordinatsystem. Återställd från: en.wikipedia.com

REKTANGULÄRA KOORDINATER: EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR - MATTE - 2025