AXIOMATISK METOD: EGENSKAPER, STEG, EXEMPEL - KULTURORDFÖRRÅD - 2025

Den axiomatiska metoden eller även kallad Axiomatics är en formell procedur som används av vetenskaperna med hjälp av vilka uttalanden eller förslag som kallas axioms är formulerade, kopplade till varandra genom en relation till avdragsgillighet och som ligger till grund för hypoteserna eller villkoren för ett visst system.

Denna allmänna definition måste utformas inom den utveckling som denna metodik har haft genom historien. För det första finns det en forntida eller innehållsmetod, född i antika Grekland från Euclid och senare utvecklad av Aristoteles.

För det andra, så tidigt som på 1800-talet, uppträdde en geometri med axiomer som skiljer sig från Euclids. Och slutligen den formella eller moderna axiomatiska metoden, vars största exponent var David Hilbert.

Utöver dess utveckling över tid har denna procedur varit grunden för den deduktiva metoden, som används i geometri och logik där den har sitt ursprung. Det har också använts inom fysik, kemi och biologi.

Och det har till och med använts inom rättsvetenskap, sociologi och politisk ekonomi. Men för närvarande är dess viktigaste tillämpningsområde matematik och symbolisk logik och vissa fysikgrenar som termodynamik, mekanik, bland andra discipliner.

egenskaper

Även om det grundläggande kännetecknet för denna metod är formuleringen av axiomer har dessa inte alltid beaktats på samma sätt.

Det finns några som kan definieras och konstrueras på ett godtyckligt sätt. Och andra, enligt en modell där den garanterade sanningen intuitivt beaktas.

För att förstå specifikt vad denna skillnad och dess konsekvenser består av, är det nödvändigt att gå igenom utvecklingen av denna metod.

Antik eller innehålls axiomatisk metod

Det är det som etablerades i det antika Grekland mot 500-talet f.Kr. Dess tillämpningsområde är geometri. Det grundläggande arbetet i detta steg är elementen av Euclid, även om det anses att Pythagoras före honom redan hade fött den axiomatiska metoden.

Således tar grekarna vissa fakta som axiomer, utan att kräva något logiskt bevis, det vill säga utan behov av bevis, eftersom de för dem är självklara sanningar.

Euclid presenterar för sin del fem axiomer för geometri:

1-Med två punkter finns det en linje som innehåller eller sammanfogar dem.

2-Vilket segment som helst kan utökas kontinuerligt i en obegränsad linje på båda sidor.

3-Du kan rita en cirkel som har ett centrum när som helst och vilken radie som helst.

4-De rätta vinklarna är desamma.

5-Ta en rak linje och någon punkt som inte finns i det, det finns en rak linje parallell med den och som innehåller den punkten. Denna axiom är senare känd som axiom av paralleller och har också uttalats som: en enda parallell kan dras från en punkt utanför en linje.

Men både Euclid och senare matematiker håller med om att den femte axiomen inte är lika intuitivt tydlig som den andra 4. Även under renässansen försöker man dra den femte från de andra 4, men det är inte möjligt.

Detta gjorde att redan under XIX-talet var de som upprätthöll de fem till förmån för euklidisk geometri och de som förnekade det femte var de som skapade de icke-euklidiska geometrierna.

Icke-euklidisk axiomatisk metod

Det är just Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai och Johann Karl Friedrich Gauss som ser möjligheten att konstruera, utan motsägelse, en geometri som kommer från andra axiomsystem än Euclids. Detta förstör tron ​​på den absoluta sanningen eller förut för de axiomer och teorier som härrör från dem.

Följaktligen börjar axiomer tänkas som utgångspunkter för en given teori. Även både hans val och problemet med dess giltighet i en eller annan mening börjar relateras till fakta utanför den axiomatiska teorin.

På detta sätt verkar geometriska, algebraiska och aritmetiska teorier byggda med hjälp av den axiomatiska metoden.

Detta steg kulminerar med skapandet av axiomatiska system för aritmetik som Giuseppe Peanos 1891; David Huberts geometri 1899; uttalanden och predikatberäkningarna av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell, i England 1910; Ernst Friedrich Ferdinand Zermelos axiomatiska uppsättningsteori 1908.

Modern eller formell axiomatisk metod

Det är David Hubert som inleder uppfattningen av en formell axiomatisk metod och som leder till dess kulmination, David Hilbert.

Det är just Hilbert som formaliserar vetenskapligt språk och betraktar dess uttalanden som formler eller sekvenser av tecken som inte har någon mening i sig själva. De får bara mening i en viss tolkning.

I "Grunderna för geometri" förklarar han det första exemplet på denna metod. Härifrån blir geometri en vetenskap om rena logiska konsekvenser, som extraheras från ett system av hypoteser eller axiomer, bättre artikulerade än det euklidiska systemet.

Detta beror på att i det gamla systemet är den axiomatiska teorin baserad på bevisen på axiomerna. Även i grunden för den formella teorin ges den genom demonstrationen av att det inte är motsägelse av dess axiomer.

Steg

Förfarandet som genomför en axiomatisk struktur inom vetenskapliga teorier erkänner:

a-valet av ett visst antal axiomer, det vill säga ett antal förslag till en viss teori som accepteras utan att behöva bevisas.

b-begreppen som ingår i dessa förslag bestäms inte inom ramen för den givna teorin.

c-reglerna för definition och deduktion av den givna teorin är inställda och möjliggör introduktion av nya begrepp inom teorin och logiskt drar några förslag från andra.

d-de andra förslagen till teorin, det vill säga teorem, härleds från a på grundval av c.

exempel

Denna metod kan verifieras genom beviset för de två mest kända Euclid-teorema: benriktningen och höjningssatsen.

Båda kommer från observationen av denna grekiska geometer att när höjden i förhållande till hypotenusen är plottad i en höger triangel, visas ytterligare två trianglar av originalet. Dessa trianglar liknar varandra och samtidigt liknar ursprungstriangeln. Detta antar att deras respektive homologa sidor är proportionella.

Det kan ses att de kongruenta vinklarna i trianglarna på detta sätt verifierar den likhet som finns mellan de tre inblandade trianglarna enligt AAA-likhetskriteriet. Detta kriterium anser att när två trianglar har samma vinklar är de lika.

När det har visats att trianglarna är lika, kan de proportioner som anges i den första teoremet fastställas. Samma uttalande som att i en höger triangel är måttet på varje ben det geometriska proportionella medelvärdet mellan hypotenusen och projiceringen av benet på det.

Den andra satsen är höjden. Den specificerar att vilken höger triangel den höjd som ritas enligt hypotenusen är det geometriska proportionella medelvärdet mellan segmenten som bestäms av nämnda geometriska medelvärde på hypotenusen.

Naturligtvis har båda satserna många tillämpningar runt om i världen, inte bara i undervisning, utan också inom teknik, fysik, kemi och astronomi.

referenser

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalism och intuition: David Hilbert och den formella axiomatiska metoden (1895-1905). Revista de Filosofía, vol. 39 nr 2, s.121-146. Hämtad från magazine.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Axiomatisk tanke. I W. Ewald, redaktör, från Kant till Hilbert: en källbok i grundval av matematik. Volym II, sid 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Vad är den axiomatiska metoden? Synthese, november 2011, volym 189, s.69-85. Hämtad från link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introduktion till samtidsrättsfilosofi. (Pp.48-49). Hämtad från books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Axiomatic Method, en läsning av Ricardo Nirenberg, hösten 1996, universitetet i Albany, Project Renaissance. Hämtad från Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert mellan den formella och den informella sidan av matematik. Manuskript vol. 38 nr. 2, Campinas juli / Augusto 2015. Hämtad från scielo.br.