HUR HITTAR DU OMRÅDET MED EN FEMKANT? - MATTE - 2026

Det område i en femhörning beräknas med användning av en metod som kallas triangulering, vilket kan tillämpas på varje polygon. Denna metod består av att dela upp femkant i flera trianglar.

Därefter beräknas arean för varje triangel och slutligen läggs alla hittade områden till. Resultatet blir området med femkant.

Pentagon kunde också delas upp i andra geometriska former, till exempel en trapezoid och en triangel, såsom figuren till höger.

Problemet är att längden på den större basen och trapezoidens höjd inte är lätt att beräkna. Höjden på den röda triangeln måste också beräknas.

Hur hittar du området med en femkant?

Den allmänna metoden för att beräkna en femkantig yta är triangulering, men metoden kan vara enkel eller lite längre beroende på om femkant är regelbunden eller inte.

Område med en vanlig femkant

Innan området beräknas är det nödvändigt att veta vad apotemet är.

Avståndet till en vanlig femkant (vanlig polygon) är det minsta avståndet från centrum av femtonen (polygonen) till mittpunkten på en sida av femtonen (polygonen).

Med andra ord, apoten är längden på linjesegmentet som går från centrum av femkant till mittpunkten på en sida.

Låt oss betrakta en vanlig femkant så att längden på sidorna är "L". För att beräkna apotemet, dela först den centrala vinkeln α med antalet sidor, det vill säga α = 360º / 5 = 72º.

Med hjälp av de trigonometriska förhållandena beräknas längden på apotemet som visas i följande bild.

Därför har apotemet en längd på L / 2tan (36º) = L / 1,45.

Genom att triangulera femkant, kommer en figur som den nedan att erhållas.

Alla 5 trianglarna har samma område (för att vara en vanlig femkant). Därför är femkantens area 5 gånger arean för en triangel. Det vill säga: yta av en femkant = 5 * (L * ap / 2).

Genom att ersätta apotemets värde får vi att området är A = 1,72 * L².

För att beräkna ytan på en vanlig femkant behöver du bara veta längden på en sida.

Område med en oregelbunden femkant

Vi börjar från en oregelbunden femkant, så att längden på sidorna är L1, L2, L3, L4 och L5. I det här fallet kan apoten inte användas som tidigare.

Efter att ha gjort trianguleringen erhålls en siffra som följande:

Nu fortsätter vi att rita och beräkna höjden på dessa 5 inre trianglar.

Så områdena för de inre trianglarna är T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 och T5 = L5 * h5 / 2.

Värdena för h1, h2, h3, h4 och h5 är höjderna för varje triangel.

Slutligen är pentagonens område summan av dessa 5 områden. Det vill säga A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Som du ser är beräkningen av en oregelbunden femkantig yta mer komplex än att beräkna området för en vanlig femkant.

Gaussisk determinant

Det finns också en annan metod genom vilken arean av vilken oregelbunden polygon som helst kan beräknas, känd som den gaussiska determinanten.

Denna metod består av att rita polygonen på det kartesiska planet, sedan beräknas koordinaterna för varje toppunkt.

Hörnpunkterna räknas upp moturs och slutligen beräknas vissa determinanter för att slutligen erhålla området för polygonen i fråga.

referenser

1. Alexander, DC, & Koeberlein, GM (2014). Elementargeometri för studenter. Cengage Learning.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
3. Lofret, EH (2002). Boken med tabeller och formler / Boken med multiplikationstabeller och formler. Fantasifull.
4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktisk matematik: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri och slidregel (omtryckt red.). Reverte.
5. Posamentier, AS, & Bannister, RL (2014). Geometri, dess element och struktur: andra upplagan. Courier Corporation.
6. Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Geometri. Redaktören, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrier. Redaktionell Tecnologica de CR.
8. Torah, FB (2013). Matte. 1: a didaktiska enheten 1: a ESO, volym 1. Redaktörsklubb Universitario.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematik (sjätte året). EUNED.