För att veta vad kvadratroten av 3 är, är det viktigt att veta definitionen av kvadratroten av ett nummer.
Med tanke på ett positivt tal "a" är kvadratroten "a", betecknad med √a, ett positivt tal "b" så att när "b" multipliceras med det, blir resultatet "a".
Den matematiska definitionen säger: √a = b om, och bara om, b² = b * b = a.
För att veta vad kvadratroten av 3 är, det vill säga värdet på √3, måste ett tal "b" hittas så att b² = b * b = √3.
Dessutom är √3 ett irrationellt antal, så det består av ett oändligt icke-periodiskt antal decimaler. Av denna anledning är det svårt att beräkna kvadratroten av 3 manuellt.
Fyrkantig rot av 3
Om du använder en kalkylator kan du se att kvadratroten av 3 är 1.73205080756887 …
Nu kan du manuellt försöka tillnärma detta nummer enligt följande:
-1 * 1 = 1 och 2 * 2 = 4, detta säger att kvadratroten av 3 är ett tal mellan 1 och 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 och 1,8 * 1,8 = 3,24, därför är den första decimalen 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 och 1,74 * 1,74 = 3,02, så den andra decimalen är 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 och 1,733 * 1,733 = 3,003, därför är den tredje decimalen 2.
Och så vidare kan du fortsätta. Detta är ett manuellt sätt att beräkna kvadratroten av 3.
Det finns också andra mycket mer avancerade tekniker, som Newton-Raphson-metoden, som är en numerisk metod för att beräkna approximationer.
Var kan vi hitta numret √3?
På grund av antalet komplexitet kan man tänka att det inte förekommer i vardagsföremål, men det är falskt. Om vi har en kub (fyrkantig ruta) så att längden på sidorna är 1, kommer kubens diagonaler att ha ett mått på √3.
För att kontrollera detta används Pythagorean Theorem, som säger: med en rätt triangel är hypotenusen kvadrat lika med summan av benens kvadrater (c² = a² + b²).
Genom att ha en kub med sidan 1 har vi att diagonalen på kvadratet på dess bas är lika med summan av kvadraten på benen, det vill säga c² = 1² + 1² = 2, därför mäter basens diagonal √2.
För att beräkna kubens diagonal kan följande figur observeras.
Den nya högra triangeln har ben med längderna 1 och √2, därför använder vi Pythagoreas teorem för att beräkna längden på dess diagonal: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, det vill säga säga C = √3.
Således är längden på diagonalen på en kub med sidan 1 lika med √3.
√3 ett irrationellt nummer
I början sades att √3 är ett irrationellt tal. För att kontrollera detta antas det av absurditeten att det är ett rationellt tal, med vilket det finns två siffror "a" och "b", relativa primes, så att a / b = √3.
Genom att kvadratera den sista jämlikheten och lösa för "a²" erhålls följande ekvation: a² = 3 * b². Detta säger att "a²" är en multipel av 3, vilket leder till slutsatsen att "a" är en multipel av 3.
Eftersom "a" är en multipel av 3 finns det ett heltal "k" så att a = 3 * k. Genom att ersätta i den andra ekvationen får vi därför: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², vilket är samma som b² = 3 * k².
Som tidigare leder denna sista jämlikhet till slutsatsen att "b" är en multipel av 3.
Sammanfattningsvis är "a" och "b" båda multiplar av 3, vilket är en motsägelse, eftersom de ursprungligen antogs vara relativa primes.
Därför är √3 ett irrationellt tal.
referenser
- Bails, B. (1839). Arismatiska principer. Tryckt av Ignacio Cumplido.
- Bernadet, JO (1843). Komplett elementär avhandling om linjär ritning med tillämpningar på konsten. José Matas.
- Herranz, DN, & Quirós. (1818). Universell, ren, testamentär, kyrklig och kommersiell aritmetik. tryckeri som var från Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Matematikskurs 3: e. Redaktörsprogreso.
- Szecsei, D. (2006). Grundläggande matematik och pre-algebra (illustrerad red.). Karriärpress.
- Vallejo, JM (1824). Barns aritmetik … Imp. Det här var från García.