SKILLNAD MELLAN KUBER: FORMLER, EKVATIONER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2026

Den skillnad på kuber är en binomial algebraiska uttryck av formen a ³ - b ³ , där termerna a och b kan vara reella tal eller algebraiska uttryck av olika slag. Ett exempel på en skillnad på kuber är: 8 - x ³ , eftersom 8 kan skrivas som 2 ³ .

Geometriskt kan vi tänka på en stor kub, med sidan a, från vilken den lilla kuben med sidan b dras, såsom illustreras i figur 1:

Figur 1. En skillnad på kuber. Källa: F. Zapata.

Volymen på den resulterande siffran är exakt en skillnad på kuber:

V = a ³ - b ³

För att hitta ett alternativt uttryck observeras att denna siffra kan sönderdelas i tre prismor, som visas nedan:

Bild 2. Skillnaden mellan kuber (vänster om jämställdheten) är lika med summan av delvolymerna (höger). Källa: F. Zapata.

Ett prisma har en volym som ges av produkten med dess tre dimensioner: bredd x höjd x djup. På detta sätt är den resulterande volymen:

V = a ³ - b ³ = a ^2. B + b ³ + ab ²

Faktor b är vanligt till höger. I figuren som visas ovan är det dessutom särskilt sant att:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Därför kan man säga att: b = a - b. Således:

Detta sätt att uttrycka skillnaden mellan kuber kommer att visa sig vara mycket användbart i många applikationer och skulle ha erhållits på samma sätt, även om sidan av den saknade kuben i hörnet var annorlunda än b = a / 2.

Observera att de andra parenteserna nära liknar den anmärkningsvärda produkten av kvadratet för summan, men tvärbegreppet multipliceras inte med 2. Läsaren kan utöka höger sida för att verifiera att en ³ - b ³ verkligen erhålls .

exempel

Det finns flera skillnader mellan kuber:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² och ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Låt oss analysera var och en av dem. I det första exemplet kan 1 skrivas som 1 = 1 ³ och termen m ⁶ blir: (m ² ) ³ . Båda termerna är perfekta kuber, därför är deras skillnad:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

I det andra exemplet skrivs termerna om:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Skillnaden mellan dessa kuber är: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Slutligen är fraktionen (1/125) (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, och y ⁹ = (y ³ ) ³ . Genom att ersätta allt detta i det ursprungliga uttrycket får du:

(1/125) .x ⁶ - 27 år ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Faktorerar skillnaden mellan kuber

Att faktorisera skillnaden mellan kuber förenklar många algebraiska operationer. För att göra detta, använd bara formeln härledd ovan:

Figur 3. Faktorisering av skillnaden mellan kuber och uttryck för en anmärkningsvärd kvotient. Källa: F. Zapata.

Förfarandet för att tillämpa denna formel består nu av tre steg:

- För det första erhålls kubroten för var och en av skillnaderna.

- Sedan konstrueras binomialen och trinomialen som visas på höger sida av formeln.

Slutligen ersätts binomialen och trinomialen för att få den slutliga faktoriseringen.

Låt oss illustrera användningen av dessa steg med vart och ett av kubskillnadsexemplen som föreslås ovan och därmed erhålla dess faktorerade ekvivalent.

Exempel 1

Faktorera uttrycket 1 - m ⁶ enligt de beskrivna stegen. Vi börjar med att skriva om uttrycket som 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^{3 för} att extrahera respektive kubrot för varje term:

Därefter konstrueras binomialen och trinomialen:

a = 1

b = m ²

Så:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Slutligen är det substituerad i formeln a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Exempel 2

faktorisera:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Eftersom det här är perfekta kuber är kubens rötter omedelbara: a ² b och 2z ⁴ och ² , följaktligen följer det att:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ och ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Och nu konstrueras den önskade faktoriseringen:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (A ² b - 2z ⁴ y ² ).

I princip är factoring klar, men det är ofta nödvändigt att förenkla varje term. Sedan utvecklas den anmärkningsvärda produkten - kvadrat av en summa - som visas i slutet och sedan läggs till liknande termer. Kom ihåg att kvadratet för en summa är:

Den anmärkningsvärda produkten till höger utvecklas så här:

(a ² b + 2z ⁴ och ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ och ² + 4z ⁸ och ⁴

Att ersätta den utvidgning som erhållits i faktoriseringen av skillnaden mellan kuber:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Slutligen, när vi grupperar liknande termer och faktorerar de numeriska koefficienterna, som alla är jämna, får vi:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Exempel 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ är mycket enklare än föregående fall. Först identifieras ekvivalenterna a och b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Sedan ersätts de direkt i formeln:

(1/125) .x ⁶ - 27 år ⁹ =.

Träningen löst

Skillnaden mellan kuber har som sagt många tillämpningar i Algebra. Låt oss se några:

Övning 1

Lös följande ekvationer:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Lösning till

Först tas ekvationen ut på detta sätt:

x ² (x ³ - 125) = 0

Eftersom 125 är en perfekt kub, skrivs parenteserna som en skillnad på kuber:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Den första lösningen är x = 0, men vi hittar mer om vi gör x ³ - 5 ³ = 0, sedan:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Lösning b

Ekvationens vänstra sida skrivs om som 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Således:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Eftersom exponenten är densamma:

9x = 4 → x = 9/4

Övning 2

Faktorera uttrycket:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Lösning

Detta uttryck är en skillnad på kuber, om vi i factoring-formeln noterar att:

a = x + y

b = x- y

Sedan konstrueras binomialen först:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Och nu trinomialet:

en ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Betydande produkter utvecklas:

Nästa måste du ersätta och minska liknande villkor:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Factoring resulterar i:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

referenser

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Redaktionell kulturell Venezolana SA
2. CK-12 Foundation. Summa och skillnad på kuber. Återställd från: ck12.org.
3. Khan akademin. Faktorering av skillnader i kuber. Återställd från: es.khanacademy.org.
4. Matematik är kul Avancerad. Skillnad mellan två kuber. Återställd från: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktorerar skillnaden mellan kuber. Återställd från: dcb.fi-c.unam.mx.