Den linjära interpolationen är en metod som har sitt ursprung i allmänna Newton-interpolering och approximation för att bestämma för ett okänt värde som är mellan två givna siffror; det vill säga ett mellanvärde hittas. Det tillämpas också på ungefärliga funktioner, där värdena f (a) och f (b) är kända och vi vill veta mellanprodukten till f (x) .
Det finns olika typer av interpolering, såsom linjär, kvadratisk, kubisk och med högre grader, den enklaste är den linjära tillnärmningen. Priset som måste betalas med linjär interpolering är att resultatet inte kommer att vara lika exakt som vid approximationer med funktioner i högre grader.
Definition
Linjär interpolering är en process som låter dig dra av ett värde mellan två väldefinierade värden, som kan vara i en tabell eller i en linjediagram.
Om du till exempel vet att 3 liter mjölk är värt $ 4 och att 5 liter är värda $ 7, men du vill veta vad värdet på 4 liter mjölk är, interpolerar du för att bestämma det mellanliggande värdet.
Metod
För att uppskatta ett mellanvärde för en funktion är funktionen f (x) ungefärlig med en linje r (x) , vilket betyder att funktionen varierar linjärt med «x» för en sektion «x = a» och «x = b "; det vill säga för ett värde "x" i intervallet (x 0 , x 1 ) och (y 0 , y 1 ) ges värdet på "y" med linjen mellan punkterna och uttrycks av följande förhållande:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
För att en interpolation ska vara linjär måste interpolationspolynomet vara av grad ett (n = 1), så att det passar värdena x 0 och x 1.
Linjär interpolering är baserad på likheter mellan trianglar, på ett sådant sätt att geometriskt härrörande från det tidigare uttrycket kan värdet "y" erhållas, vilket representerar det okända värdet för "x".
På det sättet måste du:
a = solbränna Ɵ = (motsatt ben 1 ÷ angränsande ben 1 ) = (motsatt ben 2 ÷ angränsande ben 2 )
Uttryckt på ett annat sätt är det:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Lösning för «och» från uttryck, vi har:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Således erhålls den allmänna ekvationen för linjär interpolation:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Generellt ger linjär interpolering ett litet fel på det verkliga funktionens verkliga värde, även om felet är minimalt jämfört med om du intuitivt väljer ett nummer nära det du vill hitta.
Det här felet inträffar när man försöker tillnärma värdet på en kurva med en rak linje; I dessa fall måste storleken på intervallet minskas för att göra tillnärmningen mer exakt.
För bättre resultat angående tillnärmningen rekommenderas det att använda funktioner i grad 2, 3 eller till och med högre grader för att utföra interpolationen. För dessa fall är Taylor-satset ett mycket användbart verktyg.
Lösta övningar
Övning 1
Antalet bakterier per volymenhet som finns i en inkubation efter x timmar presenteras i följande tabell. Du vill veta vad som är volymen av bakterier under 3,5 timmar.
Lösning
Referenstabellen fastställer inte ett värde som anger mängden bakterier under en tid av 3,5 timmar, men det finns övre och nedre värden motsvarande en tid på 3 respektive 4 timmar. Åt det hållet:
x 0 = 3 och 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 och 1 = 135
Nu används den matematiska ekvationen för att hitta det interpolerade värdet, vilket är följande:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Därefter ersätts motsvarande värden:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Således erhålls det att under en tid av 3,5 timmar är antalet bakterier 113, vilket representerar en mellanliggande nivå mellan volymen av bakterier som existerar under tiderna 3 och 4 timmar.
Övning 2
Luis har en glassfabrik, och han vill göra en studie för att bestämma de inkomster han hade i augusti baserat på de gjorda utgifterna. Företagets administratör gör en graf som uttrycker detta förhållande, men Luis vill veta:
Vad är intäkterna för augusti om en kostnad på $ 55 000 uppstod?
Lösning
En graf ges med värden på inkomster och utgifter. Luis vill veta vad intäkterna är för augusti om fabriken hade en kostnad på 55 000 dollar. Detta värde återspeglas inte direkt i diagrammet, men värdena är högre och lägre än detta.
Först görs en tabell där man enkelt kan relatera värdena:
Nu används interpolationsformeln för att bestämma värdet på y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Därefter ersätts motsvarande värden:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68 936 $.
Om en kostnad på 55 000 dollar gjordes i augusti, var inkomsterna 68 936 dollar.
referenser
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Ämnen i geometrisk gruppteori. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Linjär interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Delar av numeriska metoder för teknik. UASLP.
- , E. (2002). En kronologi med interpolation: från forntida astronomi till modern signal- och bildbehandling. Förfaranden för IEEE.
- numeriskt, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.