13 KLASSER AV UPPSÄTTNINGAR OCH EXEMPEL - KULTURORDFÖRRÅD - 2025

De klasser av uppsättningar kan klassificeras i lika, ändlig och oändlig, underuppsättningar, håligheter, disjunkta eller disjunktiva, motsvarande, enhetligt, överlagras eller överlappande, kongruent och icke-kongruenta, bland andra.

En uppsättning är en samling av objekt, men nya termer och symboler är nödvändiga för att kunna tala vettigt om uppsättningar. Till exempel säger vi en uppsättning hästar, en uppsättning riktiga nummer, en uppsättning människor, en uppsättning hundar, etc.

På vanligt språk är den värld där vi lever är vettig genom att klassificera saker. Spanska har många ord för sådana samlingar. Till exempel "en fågelflock", "en besättning av boskap", "en svärm av bin" och "en koloni av myror."

I matematik görs något liknande vid klassificering av siffror, geometriska figurer etc. Objekten i dessa uppsättningar kallas setelement.

Beskrivning av en uppsättning

En uppsättning kan beskrivas genom att lista alla dess element. Till exempel,

S = {1, 3, 5, 7, 9}.

"S är den uppsättning vars element är 1, 3, 5, 7 och 9." De fem elementen i uppsättningen separeras med komma och listas i hängslen.

En uppsättning kan också avgränsas genom att presentera en definition av dess element i fyrkantiga parenteser. Således kan uppsättningen S ovan också skrivas som:

S = {udda heltal mindre än 10}.

En uppsättning måste vara väl definierad. Detta innebär att beskrivningen av elementen i en uppsättning måste vara tydlig och otvetydig. Till exempel är {höga människor} inte en uppsättning, eftersom människor tenderar att hålla med om vad 'högt' betyder. Ett exempel på en väl definierad uppsättning är

T = {bokstäver i alfabetet}.

Typer uppsättningar

1- Lika stora uppsättningar

Två uppsättningar är lika om de har exakt samma element.

Till exempel:

• Om A = {vokaler i alfabetet} och B = {a, e, i, o, u} sägs det att A = B.
• Å andra sidan är uppsättningarna {1, 3, 5} och {1, 2, 3} inte desamma, eftersom de har olika element. Detta är skrivet som {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
• Ordningen i vilken elementen skrivs inom parenteserna spelar ingen roll alls. Till exempel {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
• Om ett objekt visas i listan mer än en gång räknas det bara en gång. Till exempel {a, a, b} = {a, b}.

Uppsättningen {a, a, b} har bara de två elementen a och b. Det andra omnämnandet av a är onödig upprepning och kan ignoreras. Det anses vanligtvis dålig notation när ett element räknas upp mer än en gång.

2- Slutliga och oändliga uppsättningar

Ändliga uppsättningar är de där alla element i uppsättningen kan räknas eller räknas upp. Här är två exempel:

• {Hela siffror mellan 2 000 och 2 005} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004}
• {Hela siffror mellan 2 000 och 3 000} = {2,001, 2,002, 2,003, …, 2,999}

De tre punkterna '…' i det andra exemplet representerar de andra 995 numren i uppsättningen. Alla objekt kunde ha listats, men för att spara utrymme användes punkter istället. Denna notering kan endast användas om det är helt klart vad det betyder, som i denna situation.

En uppsättning kan också vara oändlig - allt som betyder är att den är väl definierad. Här är två exempel på oändliga uppsättningar:

• {Jämnt antal och heltal större än eller lika med två} = {2, 4, 6, 8, 10, …}
• {Hela antal större än 2 000} = {2,001, 2,002, 2,003, 2,004, …}

Båda uppsättningarna är oändliga, eftersom oavsett hur många objekt du försöker räkna upp finns det alltid fler objekt i uppsättningen som inte kan listas, oavsett hur länge du försöker. Den här gången har prickarna '…' en något annorlunda betydelse, eftersom de representerar oändligt många onumrerade objekt.

3- Ställer in delmängder

En delmängd är en del av en uppsättning.

• Exempel: Ugglor är en viss typ av fågel, så varje uggla är också en fågel. På uppsättningsspråk uttrycks det genom att säga att uppsättningen ugglor är en delmängd av uppsättningen fåglar.

En uppsättning S kallas en underuppsättning av en annan uppsättning T, om varje element i S är ett element i T. Detta är skrivet som:

• S ⊂ T (Läs "S är en delmängd av T")

Den nya symbolen ⊂ betyder 'är en delmängd av'. Så {ugglor} ⊂ {fåglar} eftersom varje uggla är en fågel.

• Om A = {2, 4, 6} och B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, kommer A ⊂ B,

Eftersom varje element i A är ett element i B.

Symbolen ⊄ betyder "inte en delmängd".

Detta betyder att åtminstone ett element av S inte är ett element i T. Till exempel:

• {Fåglar} ⊄ {flygande varelser}

Eftersom en struts är en fågel, men den flyger inte.

• Om A = {0, 1, 2, 3, 4} och B = {2, 3, 4, 5, 6}, kommer A ⊄

Eftersom 0 ∈ A, men 0 ∉ B, läser vi "0 tillhör set A", men "0 tillhör inte set B".

4- Tom uppsättning

Symbolen Ø representerar den tomma uppsättningen, som är den uppsättning som inte har några element alls. Ingenting i hela universum är en del av Ø:

• - Ø - = 0 och X ∉ Ø, oavsett vad X kan vara.

Det finns bara en tom uppsättning, eftersom två tomma uppsättningar har exakt samma element, så de måste vara lika med varandra.

5 - Sammanhängande eller disjunktiva uppsättningar

Två uppsättningar kallas disjoints om de inte har några gemensamma element. Till exempel:

• Uppsättningarna S = {2, 4, 6, 8} och T = {1, 3, 5, 7} är osammanhängande.

6- Ekvivalenta uppsättningar

Det sägs att A och B är ekvivalenta om de har samma antal element som utgör dem, det vill säga kardinalantalet i uppsättning A är lika med kardinalantalet för uppsättning B, n (A) = n (B). Symbolen för att beteckna en motsvarande uppsättning är '↔'.

• Till exempel:
  A = {1, 2, 3}, därför n (A) = 3
  B = {p, q, r}, därför n (B) = 3
  Därför A ↔ B

7- Enhetsuppsättningar

Det är en uppsättning som har exakt ett element i det. Med andra ord finns det bara ett element som utgör helheten.

Till exempel:

• S = {a}
• Låt B = {är ett jämnt primtal}

Därför är B en enhetsuppsättning eftersom det bara finns ett primtal som är jämnt, det vill säga 2.

8- Universal- eller referensuppsättning

En universell uppsättning är samlingen av alla objekt i ett visst sammanhang eller teori. Alla andra uppsättningar i den ramen utgör delmängder av den universella uppsättningen, som namnges av den kursiverade versalerna U.

Den exakta definitionen av U beror på sammanhanget eller teorin som beaktas. Till exempel:

• U kan definieras som uppsättningen av alla levande saker på jorden. I så fall är uppsättningen av alla kattdjur en delmängd av U, uppsättningen med all fisk är en annan delmängd av U.
• Om U definieras som uppsättningen av alla djur på planeten jorden, så är uppsättningen av alla kornar en delmängd av U, uppsättningen av alla fiskar är en annan delmängd av U, men uppsättningen av alla träd är inte en delmängd av U.

9- Överlappande eller överlappande uppsättningar

Två uppsättningar som har minst ett element gemensamt kallas överlappande uppsättningar.

• Exempel: Låt X = {1, 2, 3} och Y = {3, 4, 5}

De två uppsättningarna X och Y har ett gemensamt element, numret 3. Därför kallas de överlappande uppsättningar.

10- Kongruenta uppsättningar.

Det är de uppsättningar där varje element i A har samma avståndsförhållande med dess bildelement i B. Exempel:

• B {2, 3, 4, 5, 6} och A {1, 2, 3, 4, 5}

Avståndet mellan: 2 och 1, 3 och 2, 4 och 3, 5 och 4, 6 och 5 är en (1) enhet, så A och B är kongruenta uppsättningar.

11 - Icke-kongruenta uppsättningar

Det är de där samma avståndsförhållande mellan varje element i A inte kan fastställas med sin bild i B. Exempel:

• B {2, 8, 20, 100, 500} och A {1, 2, 3, 4, 5}

Avståndet mellan: 2 och 1, 8 och 2, 20 och 3, 100 och 4, 500 och 5 är olika, så A och B är icke-kongruenta uppsättningar.

12- Homogena uppsättningar

Alla element som utgör uppsättningen tillhör samma kategori, genre eller klass. De är av samma typ. Exempel:

• B {2, 8, 20, 100, 500}

Alla element i B är siffror så uppsättningen betraktas som homogen.

13- heterogena uppsättningar

Elementen som ingår i uppsättningen tillhör olika kategorier. Exempel:

• A {z, auto, π, byggnader, block}

Det finns ingen kategori som alla element i uppsättningen tillhör, därför är det en heterogen uppsättning.

referenser

1. Brown, P. et al (2011). Uppsättningar och Venn-diagram. Melbourne, University of Melbourne.
2. Finite set. Återställd från: math.tutorvista.com.
3. Hoon, L. och Hoon, T (2009). Math Insights Secondary 5 Normal (Academic). Singapore, Pearson Education South Asia Pte Ld.
4. Återställs från: searchsecurity.techtarget.com.
5. Typer uppsättningar. Återställd från: math-only-math.com.