EXPONENTLAGAR (MED EXEMPEL OCH LÖSTA ÖVNINGAR) - MATTE - 2026

De lagar exponenter är de som gäller för det tal som anger hur många gånger en bas nummer måste multipliceras med sig själv. Exponenterna är också kända som makter. Empowerment är en matematisk operation som bildas av en bas (a), exponenten (m) och kraften (b), vilket är resultatet av operationen.

Exponenter används vanligtvis när mycket stora mängder används, eftersom det inte är annat än förkortningar som representerar multiplikationen av samma antal en viss tid. Exponenter kan vara både positiva och negativa.

Förklaring av exponenternas lagar

Som tidigare nämnts är exponenter en kortfattad form som representerar att multiplicera siffror med sig flera gånger, där exponenten endast relaterar till antalet till vänster. Till exempel:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

I så fall är numret 2 basens effekt, som kommer att multipliceras 3 gånger som indikeras av exponenten, belägen i basens övre högra hörn. Det finns olika sätt att läsa uttrycket: 2 höjt till 3 eller 2 höjt till kuben.

Exponenterna anger också antalet gånger de kan delas, och för att skilja denna operation från multiplikation har exponenten minustecknet (-) framför sig (det är negativt), vilket innebär att exponenten är i nämnaren till en fraktion. Till exempel:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Detta bör inte förväxlas med fallet där basen är negativ, eftersom det beror på om exponenten är udda eller till och med för att avgöra om kraften kommer att vara positiv eller negativ. Så du måste:

- Om exponenten är jämn, kommer kraften att vara positiv. Till exempel:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Om exponenten är udda kommer effekten att vara negativ. Till exempel:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Det finns ett speciellt fall där om exponenten är lika med 0, är ​​kraften lika med 1. Det finns också möjlighet att basen är 0; i så fall kommer kraften att vara obestämd eller inte beroende på exponenten.

För att utföra matematiska operationer med exponenter är det nödvändigt att följa flera regler eller normer som gör det lättare att hitta lösningen på dessa operationer.

Första lagen: exponentens kraft lika med 1

När exponenten är 1 kommer resultatet att vara samma värde på basen: a ¹ = a.

exempel

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Andra lagen: exponentens kraft lika med 0

När exponenten är 0, om basen inte är noll, blir resultatet: a ⁰ = 1.

exempel

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Tredje lag: negativ exponent

Eftersom exponte är negativt kommer resultatet att bli en bråk, där kraften blir nämnare. Till exempel, om m är positiv, är ^-m = 1 / a ^m .

exempel

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Fjärde lagen: multiplikation av makter med lika stor bas

För att multiplicera krafter där baserna är lika med och skiljer sig från 0, kvarstår basen och exponenterna läggs till: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

exempel

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Femte lagen: maktfördelning med lika stor grund

För att dela upp krafter där baserna är lika med och skiljer sig från 0, hålls basen och exponenterna subtraheras enligt följande: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

exempel

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ^femton / 6 ^{skrevs den oktober} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^december / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Sjätte lagen: multiplikation av makter med olika bas

Denna lag har motsatsen till vad som uttrycks i det fjärde; det vill säga om du har olika baser men med samma exponenter multipliceras baserna och exponenten hålls: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

exempel

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Ett annat sätt att representera denna lag är när en multiplikation höjs till en makt. Således kommer exponenten att tillhöra var och en av termerna: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

exempel

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Sjunde lag: maktfördelning med olika bas

Om du har olika baser men med samma exponenter, dela baserna och behåll exponenten: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

exempel

- 30 ³ / två ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

På liknande sätt, när en uppdelning höjs till en makt, kommer exponenten att tillhöra i var och en av termerna: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

exempel

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ / fyra ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² / fem ² = 5 ² .

Det är fallet där exponenten är negativ. För att vara positiv inverteras värdet på telleren med nämnarens värde på följande sätt:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Åttonde lagen: en makts makt

När du har en kraft som höjs till en annan kraft - det är två exponenter samtidigt-, basen upprätthålls och exponenterna multipliceras: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

exempel

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Nionde lagen: fraktionerad exponent

Om kraften har en bråkdel som exponent, löses detta genom att omvandla den till en n-rot, där täljaren förblir som en exponent och nämnaren representerar rotens index:

Exempel

Lösta övningar

Övning 1

Beräkna operationerna mellan befogenheter som har olika baser:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Lösning

Genom att använda exponentreglerna multipliceras baserna i telleren och exponenten upprätthålls så här:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Nu, eftersom vi har samma baser men med olika exponenter, hålls basen och exponenterna subtraheras:

8 ^fyra / 8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Övning 2

Beräkna operationerna mellan krafter som höjs till en annan kraft:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Lösning

Tillämpa lagarna måste du:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

referenser

1. Aponte, G. (1998). Grundläggande grundläggande matematik. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematik tillämpas i vardagen.
3. Jiménez, JR (2009). Matematik 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra och trigonometri.
5. Rees, PK (1986). Reverte.