RATIONELLA NUMMER: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH OPERATIONER - MATTE - 2025

De rationella siffrorna är alla siffror kan erhållas som uppdelningen av två heltal. Exempel på rationella antal är: 3/4, 8/5, -16/3 och de som visas i följande figur. I ett rationellt nummer anges kvoten, vilket är möjligt att göra det senare om det behövs.

Figuren representerar alla objekt, runda för större komfort. Om vi ​​vill dela upp det i två lika delar, som till höger, har vi två halvor kvar och var och en är värd 1/2.

Figur 1. Rationella siffror används för att dela upp helheten i flera delar. Källa: Freesvg.

Genom att dela upp det i fyra lika stora delar kommer vi att få 4 stycken och var och en är värd 1/4, som i bilden i mitten. Och om det måste delas upp i 6 lika delar, skulle varje del vara värt 1/6, vilket vi ser på bilden till vänster.

Naturligtvis kan vi också dela upp det i två ojämlika delar, vi kan till exempel behålla 3/4 delar och spara 1/4 delar. Andra divisioner är också möjliga, såsom 4/6 delar och 2/6 delar. Det viktiga är att summan av alla delar är 1.

På detta sätt är det uppenbart att med rationella antal kan du dela upp, räkna och distribuera saker som mat, pengar, mark och alla slags föremål i bråk. Och så utvidgas antalet operationer som kan göras med siffror.

Rationella siffror kan också uttryckas i decimalform, vilket kan ses i följande exempel:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0.142857142857142857 ………

Senare kommer vi att ange hur man går från en form till en annan med exempel.

Egenskaper för rationella antal

Rationella siffror, vars uppsättning vi kommer att beteckna med bokstaven Q, har följande egenskaper:

-Q inkluderar naturliga siffror N och heltal Z.

Med hänsyn till att valfritt antal a kan uttryckas som kvoten mellan sig och 1, är det lätt att se att bland rationella nummer finns det också naturliga tal och heltal.

Således kan det naturliga numret 3 skrivas som en bråk, och också -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

På detta sätt är Q en numerisk uppsättning som innehåller ett större antal siffror, något mycket nödvändigt, eftersom de "runda" siffrorna inte är tillräckliga för att beskriva alla möjliga operationer att göra.

-Rationella siffror kan läggas till, subtraheras, multipliceras och delas, resultatet av operationen är ett rationellt antal: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Mellan varje par rationella nummer, kan ett annat rationellt nummer alltid hittas. I själva verket mellan två rationella siffror finns det oändliga rationella nummer.

Till exempel mellan skälen 1/4 och 1/2 är skälen 3/10, 7/20, 2/5 (och många fler), som kan verifieras genom att uttrycka dem som decimaler.

-Allt rationellt antal kan uttryckas som: i) ett heltal eller ii) ett begränsat (strikt) eller periodiskt decimal: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0.16666666 ……

-Ett samma antal kan representeras av oändliga ekvivalenta fraktioner och alla tillhör Q. Låt oss se denna grupp:

De representerar alla decimalerna 0,428571 …

- Av alla ekvivalenta fraktioner som representerar samma antal är den irreducerbara fraktionen, den enklaste av alla, den kanoniska representanten för det numret. Den kanoniska representanten för exemplet ovan är 3/7.

Bild 2.- Uppsättningen Q för de rationella siffrorna. Källa: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Exempel på rationella antal

-Properera fraktioner, de där telleren är mindre än nämnaren:

-Felre fraktioner, vars teller är större än nämnaren:

-Naturliga siffror och hela siffror:

-Ekvivalenta fraktioner:

Decimal representation av ett rationellt antal

När täljaren är uppdelad med nämnaren, hittas decimalformen för det rationella numret. Till exempel:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0.11111 …

6/11 = 0,545454 …

I de två första exemplen är antalet decimaler begränsat. Detta innebär att när uppdelningen är klar, slutligen erhålls en rest av 0.

Å andra sidan är antalet decimaltal i de nästa två oändligt och det är därför ellipserna placeras. I det senare fallet finns det ett mönster i decimalerna. När det gäller fraktionen 1/9 upprepas antalet 1 på obestämd tid, medan det i 6/11 är 54.

När detta händer sägs decimalen vara periodisk och betecknas av en caret som denna:

Förvandla en decimal till en bråk

Om det är en begränsad decimal elimineras kommat helt enkelt och nämnaren blir enheten följt av lika många nollor som det finns siffror i decimalen. Om du till exempel vill förvandla decimalen 1,26 till en bråk, skriv den så här:

1,26 = 126/100

Sedan förenklas den resulterande fraktionen maximalt:

126/100 = 63/50

Om decimalen är obegränsad identifieras perioden först. Därefter följs dessa steg för att hitta den resulterande fraktionen:

-Siffran är subtraktionen mellan siffran (utan komma eller caret) och den del som inte har caret.

-Nämnaren är ett heltal med så många 9 som det finns siffror under circumflex, och lika många 0 som det finns siffror i decimaldelen som inte är under circumflex.

Låt oss följa den här proceduren för att förvandla decimalnumret 0.428428428 … till en bråkdel.

- Först identifieras perioden, som är den sekvens som upprepas: 428.

-Då görs operationen för att subtrahera numret utan komma eller accent: 0428 från den del som inte har en circumflex, som är 0. Det förblir så här 428 - 0 = 428.

-Nämnaren är konstruerad, vetande att under circumflexen finns det tre figurer och alla är under circumflex. Därför är nämnaren 999.

-Slutligen bildas och förenklas fraktionen om möjligt:

0,428 = 428/999

Det är inte möjligt att förenkla mer.

Verksamhet med rationella antal

- Lägg till och subtrahera

Fraktioner med samma nämnare

När fraktionerna har samma nämnare är det mycket enkelt att lägga till och / eller subtrahera dem, eftersom tellerna helt enkelt läggs algebraiskt, vilket lämnar samma som tillägg som nämnaren för resultatet. Slutligen, om möjligt, förenklas det.

Exempel

Utför följande algebraiska tillägg och förenkla resultatet:

Den resulterande fraktionen är redan oåterkallelig.

Fraktioner med olika nämnare

I detta fall ersätts tillsatserna av ekvivalenta fraktioner med samma nämnare och sedan följer proceduren som redan beskrivits.

Exempel

Lägg till algebraiskt följande rationella nummer, förenkla resultatet:

Stegen är:

-Bestäm den minst vanliga multipeln (lcm) av nämnarna 5, 8 och 3:

1 cm (5,8,3) = 120

Detta kommer att vara nämnaren för den resulterande fraktionen utan att förenkla.

-För varje bråk: dela LCM med nämnaren och multiplicera med telleren. Resultatet av denna operation placeras, med dess respektive tecken, i fraktionens teller. På detta sätt erhålls en bråkdel motsvarande originalet men med LCM som nämnare.

Till exempel, för den första fraktionen är tecknaren konstruerad så här: (120/5) x 4 = 96 och vi får:

Fortsätt på samma sätt för de återstående fraktionerna:

Slutligen ersätts de ekvivalenta fraktionerna utan att glömma deras tecken och den algebraiska summan av tellerna utförs:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Multiplikation och uppdelning

Multiplikation och uppdelning görs enligt reglerna nedan:

Bild 3. Regler för att multiplicera och dela rationella siffror. Källa: F. Zapata.

I vilket fall som helst är det viktigt att komma ihåg att multiplikation är kommutativ, vilket innebär att faktorns ordning inte förändrar produkten. Detta händer inte med uppdelning, så man måste se till att ordningen mellan utdelning och delare respekteras.

Exempel 1

Utför följande åtgärder och förenkla resultatet:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Svara på

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Svar b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Exempel 2

Luisa hade 45 dollar. Han tillbringade en tiondel av det för att köpa en bok och 2/5 av det som var kvar på en t-shirt. Hur mycket pengar har Luisa kvar? Uttryck resultatet som en oreducerbar bråk.

Lösning

Boken kostar (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = $ 4,5

Därför satt Luisa kvar med:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Med de pengarna gick Luisa till klädaffären och köpte tröjan, vars pris är:

(2/5) x $ 40,5 = $ 16,2

Nu har Luisa i sin portfölj:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

För att uttrycka det som en bråkdel skrivs det så här:

24,3 = 243/10

Det är oåterkalleligt.

referenser

1. Baldor, A. 1986. Aritmetic. Editions and Distribution Codex.
2. Carena, M. 2019. Manual of Mathematics. Litorals universitet.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. De rationella siffrorna. Återställd från: Cimanet.uoc.edu.
6. Rationella nummer. Återställs från: webdelprofesor.ula.ve.