KONVEX POLYGON: DEFINITION, ELEMENT, EGENSKAPER, EXEMPEL - MATTE - 2026

En konvex polygon är en geometrisk figur som finns i ett plan som kännetecknas av att det har alla dess diagonaler i sitt inre och dess vinklar mäter mindre än 180º. Bland dess egenskaper är följande:

1) Den består av n på varandra följande segment där den sista av segmenten sammanfogar det första. 2) Inget av segmenten korsar varandra så att planet avgränsas i ett inre område och ett yttre område. 3) Varje vinkel i det inre området är strängt mindre än en plan vinkel.

Figur 1. Polygoner 1, 2 och 6 är konvexa. (Utarbetad av Ricardo Pérez).

Ett enkelt sätt att bestämma om en polygon är konvex eller inte är att överväga linjen som passerar genom en av dess sidor, vilket bestämmer två halvplan. Om i varje linje som passerar genom ena sidan, de andra sidorna av polygonen är i samma halvplan, är det en konvex polygon.

Delar av en polygon

Varje polygon består av följande element:

- Sidor

- Vertikaler

Sidorna är var och en av de på varandra följande segmenten som utgör polygonen. I en polygon kan inget av segmenten som utgör den ha en öppen ände, i så fall skulle det finnas en polygonal linje men inte en polygon.

Vertikaler är föreningspunkter för två på varandra följande segment. I en polygon är antalet vertiklar alltid lika med antalet sidor.

Om två sidor eller delar av en polygon korsar varandra, har du en korsad polygon. Korsningsstället anses inte vara ett toppunkt. En tvärpolygon är en icke-konvex polygon. Stjärnpolygoner är tvärpolygoner och är därför inte konvexa.

När en polygon har alla sidor samma längd, då har vi en vanlig polygon. Alla vanliga polygoner är konvexa.

Konvexa och icke-konvexa polygoner

Figur 1 visar flera polygoner, några av dem är konvexa och några av dem inte. Låt oss analysera dem:

Siffran 1 är en tresidig polygon (triangel) och alla invändiga vinklar är mindre än 180º, därför är det en konvex polygon. Alla trianglar är konvexa polygoner.

Siffran 2 är en fyrsidig polygon (fyrkantig) där ingen av sidorna korsar varandra och varje inre vinkel är mindre än 180º. Det är då en konvex polygon med fyra sidor (konvex fyrkantig).

Å andra sidan är siffran 3 en polygon med fyra sidor men en av dess inre vinklar är större än 180º, så det uppfyller inte det konvexiska villkoret. Det vill säga, det är en icke-konvex fyrsidig polygon som kallas en konkav fyrkantig.

Siffran 4 är en polygon med fyra segment (sidor), varav två korsar varandra. De fyra inre vinklarna är mindre än 180º, men eftersom två sidor korsar det är det en icke-konvex korsad polygon (korsad fyrkantig).

Ett annat fall är numret 5. Detta är en femsidig polygon, men eftersom en av dess inre vinklar är större än 180º, så har vi en konkav polygon.

Slutligen har nummer 6, som också har fem sidor, alla invändiga vinklar mindre än 180º, så det är en konvex polygon med fem sidor (konvex femkant).

Egenskaper för den konvexa polygonen

1- En icke-korsad polygon eller enkel polygon delar planet som innehåller det i två regioner. Det inre området och det yttre området, varvid polygonen är gränsen mellan de två regionerna.

Men om polygonen dessutom är konvex, så har vi en inre region som helt enkelt är ansluten, vilket innebär att det tar två andra punkter från det inre området, det kan alltid förenas av ett segment som helt tillhör det inre området.

Bild 2. En konvex polygon är helt enkelt ansluten, medan en konkav inte är. (Utarbetad av Ricardo Pérez).

2- Varje inre vinkel i en konvex polygon är mindre än en plan vinkel (180º).

3- Alla de inre punkterna i en konvex polygon tillhör alltid ett av halvplanen definierade av linjen som passerar genom två på varandra följande vertikaler.

4- I en konvex polygon är alla diagonalerna helt inne i det inre polygonala området.

5- De inre punkterna hos en konvex polygon tillhör helt och hållet den konvexa vinkelsektorn definierad av varje inre vinkel.

6- Varje polygon där alla dess toppar är på en periferi är en konvex polygon som kallas en cyklisk polygon.

7- Varje cyklisk polygon är konvex, men inte varje konvex polygon är cyklisk.

8- Alla icke-korsade polygon (enkel polygon) som har alla dess sidor med samma längd är konvex och kallas en vanlig polygon.

Diagonaler och vinklar i konvexa polygoner

9- Det totala antalet N diagonaler i en konvex polygon med n-sidor anges med följande formel:

N = ½ n (n - 3)

Bevis: I en konvex polygon med n sidor av varje topp, dras n - 3 diagonaler, eftersom själva toppmaterialet och de två intilliggande exkluderas. Eftersom det finns n hörn, dras totalt n (n - 2) diagonaler, men varje diagonal ritades två gånger, så antalet diagonaler (utan upprepning) är n (n-2) / 2.

10- Summan S för de inre vinklarna hos en konvex polygon med n-sidor ges av följande förhållande:

S = (n - 2) 180º

exempel

Exempel 1

Cyklisk hexagon är en polygon med sex sidor och sex toppar, men alla vertiklarna är på samma omkrets. Varje cyklisk polygon är konvex.

Cyklisk sexkant.

Exempel 2

Bestäm värdet på de invändiga vinklarna i en regelbunden enegon.

Lösning: Enegon är en 9-sidig polygon, men om den också är regelbunden är alla sidor och vinklar lika.

Summan av alla inre vinklar för en 9-sidig polygon är:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Men det finns nio inre vinklar med lika mått α, så följande jämlikhet måste uppfyllas:

S = 9 a = 1260º

Från vilket följer att mätningen a för varje inre vinkel i den reguljära enegon är:

a = 1260º / 9 = 140º