ELASTISKA STÖTAR: I EN DIMENSION, SPECIELLA FALL, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

De elastiska kollisionerna eller de elastiska kollisionerna är korta men intensiva interaktioner mellan föremål, där både momentum och kinetisk energi bevaras. Krascher är mycket ofta förekommande händelser i naturen: från subatomära partiklar till galaxer, till biljardbollar och stötfångare i nöjesparker, de är alla föremål som kan kollidera.

Under en kollision eller kollision är krafterna för interaktion mellan föremål mycket starka, mycket mer än de som kan agera externt. På detta sätt kan det sägas att partiklarna bildar ett isolerat system under kollisionen.

Biljardkollisioner kan betraktas som elastiska. Källa: Pixabay.

I det här fallet är det sant att:

Momentet P _o före kollisionen är detsamma som efter kollisionen. Detta gäller för alla typer av kollisioner, både elastiska och inelastiska.

Tänk nu på följande: Under en kollision genomgår föremål en viss deformation. När chocken är elastisk återgår objekt snabbt till sin ursprungliga form.

Bevarande av kinetisk energi

Normalt under en krasch tillbringas en del av föremålens energi på värme, deformation, ljud och ibland till att producera ljus. Så den kinetiska energin i systemet efter kollisionen är mindre än den ursprungliga kinetiska energin.

När den kinetiska energin K bevaras:

Vilket innebär att krafterna som verkar under kollisionen är konservativa. Under kollisionen omvandlas den kinetiska energin kort till potentiell energi och sedan tillbaka till kinetisk energi. De respektive kinetiska energierna varierar, men summan förblir konstant.

Perfekt elastiska kollisioner är sällsynta, även om biljardbollar är en ganska bra approximation, liksom kollisioner som uppstår mellan idealiska gasmolekyler.

Elastiska stötar i en dimension

Låt oss undersöka en kollision av två partiklar av detta i en enda dimension; det vill säga de samverkande partiklarna rör sig, säger, längs x-axeln. Anta att de har massor m ₁ och m ₂ . De initiala hastigheterna för var och en är u _{1 respektive} u ₂ . Sluthastigheterna är v ₁ och v ₂ .

Vi kan undvika vektornotationen, eftersom rörelsen utförs längs x-axeln, men tecknen (-) och (+) indikerar rörelsens riktning. Till vänster är negativ och till höger positiv, enligt konvention.

-Formel för elastiska kollisioner

För mängden rörelse

För kinetisk energi

Så länge massorna och initiala hastigheterna är kända, kan ekvationerna omgrupperas för att hitta de slutliga hastigheterna.

Problemet är att det i princip är nödvändigt att utföra lite ganska tråkig algebra, eftersom ekvationerna för kinetisk energi innehåller kvadraterna för hastigheterna, vilket gör beräkningen lite besvärlig. Idealet skulle vara att hitta uttryck som inte innehåller dem.

Den första är att undvika faktorn ½ och ordna båda ekvationerna på ett sådant sätt att ett negativt tecken visas och massorna kan tas upp:

Att uttryckas på detta sätt:

Förenkling för att eliminera kvadraterna för hastigheterna

Nu måste vi använda den anmärkningsvärda produktsumman med dess skillnad i den andra ekvationen, med vilken vi får ett uttryck som inte innehåller rutorna, som ursprungligen ville:

Nästa steg är att ersätta den första ekvationen i den andra:

Och eftersom termen m ₂ (v ₂ - u ₂ ) upprepas på båda sidor av jämställdheten, avbryts nämnda term och förblir så här:

Eller ännu bättre:

Sluthastigheter v

Nu har du två linjära ekvationer som är lättare att arbeta med. Vi kommer att lägga dem tillbaka under varandra:

Att multiplicera den andra ekvationen med m ₁ och lägga till term till term är:

Och det är redan möjligt att rensa v ₂ . Till exempel:

Speciella fall i elastiska kollisioner

Nu när ekvationer är tillgängliga för de slutliga hastigheterna för båda partiklarna är det dags att analysera några speciella situationer.

Två identiska massor

I så fall är m ₁ = m ₂ = min:

Partiklarna utbyter helt enkelt sina hastigheter efter kollisionen.

Två identiska massor, varav en ursprungligen var i vila

Återigen m ₁ = m ₂ = m och antar att u ₁ = 0:

Efter kollisionen får partikeln som var i vila samma hastighet som den partikel som rörde sig, och detta upphör i sin tur.

Två olika massor, en av dem ursprungligen i vila

Antag i detta fall att u ₁ = 0, men massorna är olika:

Vad händer om m ₁ är mycket större än m ₂ ?

Det händer att m ₁ fortfarande är i vila och m ₂ returneras med samma hastighet som den träffade.

Restitutionskoefficient eller Huygens-Newton regel

Tidigare härleddes följande förhållande mellan hastigheterna för två objekt i elastisk kollision: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Dessa skillnader är de relativa hastigheterna före och efter kollisionen. I allmänhet är det sant att för en kollision:

Begreppet relativ hastighet uppskattas bäst om läsaren föreställer sig att han är på en av partiklarna och från denna position observerar han hastigheten med vilken den andra partikeln rör sig. Ovanstående ekvation skrivs om så här:

Lösta övningar

-Löst övning 1

En biljardboll rör sig till vänster vid 30 cm / s, kolliderar mot varandra med en annan identisk boll som rör sig åt höger på 20 cm / s. De två bollarna har samma massa och kollisionen är perfekt elastisk. Hitta hastigheten på varje boll efter slag.

Lösning

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Detta är det speciella fallet där två identiska massor kolliderar i en dimension elastiskt, varför hastigheterna utbyts.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

-Löst övning 2

Restitutionskoefficienten för en boll som studsar från marken är lika med 0,82. Om den faller från vila, vilken bråkdel av dess ursprungliga höjd når bollen efter att ha hoppats en gång? Och efter 3 returer?

En boll studsar från en fast yta och förlorar höjden med varje studs. Källa: självgjord.

Lösning

Jorden kan vara objekt 1 i ekvationen för restitutionskoefficienten. Och det förblir alltid i vila, så att:

Med denna hastighet studsar den:

+ -Tecknet indikerar att det är en stigande hastighet. Och enligt den når bollen en maximal höjd av:

Nu återgår den till marken igen med en hastighet av samma storlek, men motsatt tecken:

Detta uppnår en maximal höjd av:

Gå tillbaka till marken med:

På varandra följande studsar

Varje gång bollen studsar och stiger, multiplicerar du hastigheten igen med 0,82:

Vid denna tidpunkt är h ₃ cirka 30% av h _o . Vad skulle vara höjden till 6: e studs utan att behöva göra så detaljerade beräkningar som de tidigare?

Det skulle vara h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o bara 9% av h _o .

-Löst övning 3

Ett 300-g-block rör sig norrut med 50 cm / s och kolliderar med ett 200-g-block mot söder vid 100 cm / s. Antag att chocken är perfekt elastisk. Hitta hastigheter efter slag.

Data

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

-Löst övning 4

En massa av m ₁ = 4 kg frigörs från den indikerade punkten på den friktionsspåret tills den kolliderar med m ₂ = 10 kg i vila. Hur högt stiger m ₁ efter kollisionen?

Lösning

Eftersom det inte finns någon friktion, bevaras den mekaniska energin för att hitta hastigheten u ₁ med vilken m ₁ träffar m _2. Ursprungligen är den kinetiska energin 0, eftersom m ₁ startar från vila. När den rör sig på den horisontella ytan har den ingen höjd, så den potentiella energin är 0.

Nu beräknas hastigheten på m ₁ efter kollisionen:

Det negativa tecknet innebär att det har returnerats. Med denna hastighet stiger den och den mekaniska energin bevaras igen för att hitta h ', den höjd som den lyckas stiga upp efter kollisionen:

Observera att den inte återgår till startpunkten i 8 m höjd. Den har inte tillräckligt med energi eftersom massan m ₁ gav upp en del av sin kinetiska energi _.

referenser

1. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6 ^{: e} . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Physics for Science and Technology. 5: e utgåvan Volym 1. Redaktionell reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysik: begrepp och tillämpningar. 7: e upplagan. MacGraw Hill. 185-195