POISSONS FÖRHÅLLANDE: KOEFFICIENT, FORMLER, VÄRDEN, EXEMPEL - FYSISK - 2025

Den Poisson 's förhållandet är en dimensionslös storhet som är karakteristisk för varje material. Det är en indikation på deformationen av ett material innan vissa krafter appliceras.

När ett material som utsätts för spänning eller kompression genomgår en deformation är kvoten mellan den tvärgående deformationen och den längsgående deformationen exakt Poissons förhållande.

Bild 1. Poissons förhållande mäter förhållandet mellan längsgående sträckning och tvärgående förträngning. (Utarbetad av Ricardo Pérez)

Till exempel sträcker sig en gummicylinder som utsätts för spänning vid sina ändar i längdriktningen, men smalnar tvärs. Figur 1 visar en stapel vars ursprungliga dimensioner är: längd L och diameter D.

Stången utsätts för en spänning T vid dess ändar, och som en följd av denna spänning genomgår den en sträckning, så att den nya längden är L '> L. Men när den är sträckt, smalnar dess diameter också till det nya värdet: D '<D.

Kvoten mellan sträckningen (positiv) och den minskande (negativa) multiplicerad med (-1) är ett positivt tal mellan 0 och 0,5. Detta nummer är det så kallade Poissons förhållande ν (grekisk bokstav nu).

Poissons kvotformel

För att beräkna Poissons förhållande är det nödvändigt att bestämma den längsgående och tvärgående belastningen.

Den längsgående töjningen ε _L är sträckningen dividerad med den ursprungliga längden:

ε _L = (L '- L) / L

På liknande sätt är den tvärgående töjningen ε _T den radiella smalningen dividerad med den ursprungliga diametern:

e _T = (D '- D) / D

Därför beräknas Poissons förhållande med följande formel:

v = - ε _T / ε _L

Förhållande till elasticitetsmodul och styvhetsmodul

Poissons förhållande v är relaterat till elasticitetsmodulen E (eller Youngs modul) och styvheten G, med följande formel:

Poissons kvotvärde för material

Figur 2. Rostfritt stål har ett Poissons förhållande mellan 0,30 och 0,31. Källa: Pixabay.

Beräkningsexempel

Exempel 1

En stång av ett visst plastmaterial har en längd på 150 mm och en cirkulär sektion med 20 mm i diameter. När den utsätts för en tryckkraft F på 612,25 kg-f observeras en förkortning av 14 mm och samtidigt en ökning med 0,85 mm i stångens diameter.

Beräkna:

a) Longitudinal belastning.

b) Den tvärgående stammen.

c) Poissons förhållande mellan det materialet.

d) Youngs elasticitetsmodul motsvarande materialet.

e) Stivhetsmodulen för den plasten.

Lösning till

Kom ihåg att den längsgående töjningen εL är sträckningen dividerad med den ursprungliga längden:

εL = (L '- L) / L

eL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Observera att den längsgående belastningen är måttlös, och i det här fallet var den negativ eftersom den minskade sin längsgående dimension.

Lösning b

På liknande sätt är den tvärgående töjningen εT den radiella avsmalningen, dividerad med den ursprungliga diametern:

eT = (D '- D) / D

eT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Den tvärgående belastningen har varit positiv eftersom stavens diameter har ökat.

Lösning c

För beräkningen av Poissons förhållande måste vi komma ihåg att den definieras som kvotientens negativa mellan den tvärgående deformationen och den längsgående deformationen:

v = - εT / εL

v = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Man bör komma ihåg att Poissons förhållande är ett positivt dimensionellt antal och för de flesta material är det mellan 0 och 0,5.

Lösning d

Youngs elasticitetsmodul, betecknad med bokstaven E, är konstantens proportionalitet i Hookes lag. Med E är den normala spänningen L relaterad till stammen εL enligt följande:

σL = E εL

Den normala spänningen definieras som kvoten mellan normalkraften (i detta fall parallellt med stångens axel) och tvärsnittsområdet:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

I denna övning är kraften F 612,25 kg-f, som måste omvandlas till newton, som är SI-kraftenheten:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Tvärsnittet av område A är för sin del:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Slutligen är den normala spänningen som appliceras på baren:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

För att beräkna Youngs elasticitetsmodul löser vi för E från Hookes lag σL = E εL:

E = σL / eL = 19,098,593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

Lösning e

Modulen för styvhet G är relaterad till Youngs modul E och Poissons förhållande v genom denna formel:

E / (2 G) = 1 + v

Därifrån kan vi lösa för G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Exempel 2

Det finns en kopparkabel med en diameter på 4 mm och 1 m lång. Att veta att Youngs kopparmodul är 110 000 MPa och att dess Poissons förhållande är 0,34, uppskattar den sträckning och minskning i diameter som tråden genomgår när en vikt på 100 kg-f hängs på den.

Lösning

Först är det nödvändigt att beräkna den normala dragspänningen som vikten utövar på tråden enligt denna formel:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Kraften F är 980 N och tvärsnittsområdet är:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Sedan är dragspänningen:

a = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986 000 Pa

Beräkning av trådstammen

Youngs elasticitetsmodul, betecknad med bokstaven E, är proportionalitetskonstanten i Hookes lag som relaterar den normala spänningen σL till spänningen εL:

σL = E εL

Därifrån kan koppartrådens längsgående töjning lösas:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Beräkning av tvärgående stam

Å andra sidan, för att känna till den tvärgående belastningen, tillämpas Poissons förhållande:

v = - εT / εL

Slutligen är den tvärgående stammen:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Beräkning av absolut kabelsträckning

Slutligen, för att känna till den absoluta sträckningen av kabeln, måste följande förhållande tillämpas:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

Det vill säga, med den vikten sträckte kabeln knappt 0,709 millimeter.

Beräkning av minskning i diameter

För att få absolut krympning i diameter använder vi följande formel:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 millimeter.

Denna minskning i diameter är så liten att det är svårt att se med blotta ögat, till och med dess mätning kräver ett instrument med hög precision.

referenser

1. Öl F .. Mekanik av material. 5:e. Utgåva. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Materialmekanik. Åttonde upplagan. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mekanik av material. Åttonde upplagan. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6: e Ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Anteckningar om allmän fysik. UNAM. 87-98.