BOLTZMANN KONSTANT: HISTORIA, EKVATIONER, KALKYL, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den Boltzmanns konstant är det värde som avser den genomsnittliga kinetiska energin hos ett termodynamiskt system eller ett föremål med den absoluta temperaturen hos densamma. Även om de ofta är förvirrade, är temperatur och energi inte samma koncept.

Temperatur är ett mått på energi, men inte energi själv. Med Boltzmanns konstant är de kopplade till varandra på följande sätt:

Boltzmanns gravsten i Wien. Källa: Daderot på engelska Wikipedia

Denna ekvation är giltig för en enatomig idealgas molekyl med massan m, där E _c är dess kinetiska energi ges i joule, k _B är Boltzmanns konstant och T är den absoluta temperaturen i Kelvin.

På detta sätt, när temperaturen ökar, ökar också den genomsnittliga kinetiska energin per ämnesmolekyl, som förväntas hända. Och det motsatta händer när temperaturen sjunker, att kunna nå den punkt där om all rörelse stannar uppnås den lägsta möjliga temperaturen eller absolut noll.

När man talar om genomsnittlig kinetisk energi är det nödvändigt att komma ihåg att kinetisk energi är förknippad med rörelse. Och partiklar kan röra sig på många sätt, såsom att röra sig, rotera eller vibrera. Självklart kommer de inte alla att göra det på samma sätt, och eftersom de är otaliga, tar man genomsnittet för att karakterisera systemet.

Vissa energitillstånd är mer troliga än andra. Detta koncept är av radikal betydelse inom termodynamiken. Energin som beaktas i den föregående ekvationen är translationell kinetisk energi. Sannolikheten för tillstånd och dess förhållande till Boltzmanns konstant kommer att diskuteras lite senare.

År 2018 omdefinierades Kelvin och med den Boltzmann-konstanten, som i det internationella systemet är ungefär 1.380649 x ^10-23 J. K ^-1 . Mycket mer precision kan uppnås för Boltzmann-konstanten, som har bestämts i många laboratorier runt om i världen, med olika metoder.

Historia

Den berömda konstanten är skyldig den Wienfödda fysikern Ludwig Boltzmann (1844–1906), som ägnade sitt liv som vetenskapsman till studien av system med många partiklar statistiskt beteende ur Newtons mekanik.

Trots att atomens existens i dag accepteras allmänt, på 1800-talet var troen på om atomen verkligen existerade eller var ett konstföremål med vilket många fysiska fenomen förklarades, i full debatt.

Boltzmann var en stark försvarare av atomens existens och mötte i sin tid hård kritik av sitt arbete från många kollegor, som ansåg att den innehöll olösliga paradoxer.

Han uppgav att observerbara fenomen vid makroskopiska nivåer kunde förklaras med de statistiska egenskaperna hos beståndsdelar som atomer och molekyler.

Det kan hända att denna kritik berodde på den djupa episoden av depression som fick honom att ta sitt liv i början av september 1906, då han fortfarande hade mycket att göra, eftersom han ansågs vara en av de stora teoretiska fysikerna i sin tid och det var mycket lite kvar att gå. att andra forskare bidrar till att bekräfta verkligheten i sina teorier.

Det var inte länge efter hans död som nya upptäckter om atomens natur och dess beståndsdelar tillsattes för att bevisa Boltzmann rätt.

Boltzmanns konstant och Plancks verk

Nu introducerades Boltzmann-konstanten k _B som den är känd idag efter en tid efter den österrikiska fysikerens arbete. Det var Max Planck, i sin lag om utsläpp av den svarta kroppen, ett verk som han presenterade 1901, som vid den tiden gav det värdet 1,34 x 10 ⁻²³ J / K.

Runt 1933 lades en plack med definitionen av entropi som involverar den berömda konstanten till Boltzmanns gravsten i Wien som en postum hyllning, som involverar den berömda konstanten: S = k _B log W, en ekvation som kommer att diskuteras senare.

Idag är Boltzmann-konstanten oundgänglig i tillämpningen av lagarna för termodynamik, statistisk mekanik och informationsteori, fält där denna sorgligt slutande fysiker var en pionjär.

Värde och ekvationer

Gaser kan beskrivas i makroskopiska termer och även i mikroskopiska termer. För den första beskrivningen finns det begrepp som densitet, temperatur och tryck.

Det bör dock komma ihåg att en gas består av många partiklar, som har en global tendens till ett visst beteende. Det är denna trend som mäts makroskopiskt. Ett sätt att bestämma Boltzmann-konstanten är tack vare den välkända ideala gasekvationen:

Här är p gasens tryck, V är dess volym, n är antalet mol närvarande, R är gasens konstant och T är temperaturen. I en mol ideal gas uppnås följande förhållande mellan produkten pV, och den translationella kinetiska energin K för hela uppsättningen är:

Därför är den kinetiska energin:

Genom att dela med det totala antalet närvarande molekyler, som kommer att kallas N, erhålles den genomsnittliga kinetiska energin för en enda partikel:

I en mol finns Avogadros antal partiklar N _A , och därför det totala antalet partiklar är N = NN A, lämnar:

Exakt förhållandet R / N _A är Boltzmanns konstant, vilket visar att den genomsnittliga translations kinetiska energin hos en partikel beror endast på den absoluta temperaturen T och inte på andra storheter såsom tryck, volym eller till och med den typ av molekyl:

Boltzmanns konstant och entropi

En gas har en given temperatur, men den temperaturen kan motsvara olika tillstånd av intern energi. Hur visualiserar jag denna skillnad?

Tänk på samtidigt vändning av fyra mynt och hur de kan falla:

Sätt på vilka 4 kan släppa 4 mynt. Källa: självgjord

Uppsättningen av mynt kan antaga totalt 5 tillstånd, som anses vara makroskopiska, beskrivna i figuren. Vilka av dessa stater skulle läsaren säga är det mest troliga?

Svaret bör vara tillståndet för 2 huvuden och 2 svansar, för du har totalt 6 möjligheter, av de 16 som visas i figuren. Y 2 ⁴ = 16. Dessa är lika med de mikroskopiska tillstånden.

Vad händer om 20 mynt kastas i stället för 4? Det skulle finnas totalt 2 ²⁰ möjligheter eller "mikroskopiska tillstånd". Det är ett mycket större antal och svårare att hantera. För att underlätta hanteringen av stora antal är logaritmer mycket lämpliga.

Det som verkar uppenbart är att staten med den största störningen är det mest troliga. Fler ordnade stater som 4 huvuden eller 4 tätningar är något mindre troliga.

Entropin för ett makroskopiskt tillstånd S definieras som:

Där w är antalet möjliga mikroskopiska tillstånd hos systemet och k _B är Boltzmanns konstant. Eftersom ln w är dimensionslös, har entropin samma enheter som k _B : Joule / K.

Detta är den berömda ekvationen på Boltzmanns gravsten i Wien. Men mer än entropi, det som är relevant är dess förändring:

Hur beräknar du k

Värdet på Boltzmanns konstant erhålls experimentellt på ett extremt exakt sätt med mätningar baserade på akustisk termometri, som utförs med den egenskap som fastställer beroendet av ljudets hastighet i en gas med dess temperatur.

Faktum är att ljudets hastighet i en gas ges av:

B _adiabatic = yp

Och ρ är densiteten för gasen. För ovanstående ekvation är p trycket för gasen i fråga och y är den adiabatiska koefficienten, vars värde för en given gas finns i tabeller.

Metrologiska institut experimenterar också med andra sätt att mäta konstanten, till exempel Johnson Noise Thermometry, som använder slumpmässiga termiska fluktuationer i material, särskilt ledare.

Lösta övningar

-Övning 1

Hitta:

a) Den genomsnittliga translationella kinetiska energin _Ec som en ideal gasmolekyl har vid 25 ºC

b) Den translationella kinetiska energin K för molekylerna i 1 mol av denna gas

c) Medelhastigheten för en syremolekyl vid 25 ºC

Faktum

m _syre = 16 x 10 ^-3 kg / mol

Lösning

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x ^10-23 J. K ^-1 x 298 K = 6,2 x ^10-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8.314 J / mol K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ² , med hänsyn till att syre-molekylen är diatomisk och den molära massan måste multipliceras med 2, kommer vi att ha:

Hitta förändringen i entropi när 1 mol gas som upptar en volym på 0,5 m ³ expanderar till 1 m ³ .

Lösning

AS = k _B ln (vikt ₂ / vikt ₁ )

referenser

1. Atkins, P. 1999. Physical Chemistry. Omega-utgåvor. 13-47.
2. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill. 664- 672.
3. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6: e Ed Prentice Hall. 443-444.
4. Sears, Zemansky. 2016. Universitetsfysik med modern fysik. 14:e. Utg. Volym 1. 647-673.
5. JA omdefinition. Kelvin: Boltzmann Constant. Hämtad från: nist.gov