KONSTANT FÖR INTEGRATION: MENING, BERÄKNING OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

Den konstant integrations är ett mervärde för beräkning av primitiv eller integraler, tjänar den för att representera de lösningar som utgör den primitiva av en funktion. Det uttrycker en inneboende tvetydighet där någon funktion har ett oändligt antal primitiva.

Om vi ​​till exempel tar funktionen: f (x) = 2x + 1 och vi får dess antiderivativ:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Där C är integrationskonstanten och grafiskt representerar den vertikala translationen mellan de oändliga möjligheterna hos det primitiva. Det är korrekt att säga att (x ² + x) är en av primitiven för f (x).

Källa: författare

På liknande sätt kan vi definiera (x ² + x + C ) som den primitiva för f (x).

Omvänd egendom

Det kan noteras att vid härledningen av uttrycket (x ² + x) erhålles funktionen f (x) = 2x + 1. Detta beror på den omvända egenskapen som finns mellan derivationen och integrationen av funktioner. Den här egenskapen gör det möjligt att få integrationsformler från differentieringen. Vilket tillåter verifiering av integraler genom samma derivat.

Källa: författare

Men (x ² + x) är inte den enda funktionen vars derivat är lika med (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Där 1, 2, 3 och 4 representerar särskilda primitiv av f (x) = 2x + 1. Medan 5 representerar den obestämda eller primitiva integralen av f (x) = 2x + 1.

Källa: författare

Primitiven för en funktion uppnås genom antiderivering eller integrerad process. Där F kommer att vara en primitiv av f om följande är sant

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = integrationskonstant
• F '(x) = f (x)

Det kan ses att en funktion har ett enda derivat, till skillnad från dess oändliga primitiva resultat från integration.

Den obestämda integralen

∫ f (x) dx = F (x) + C

Det motsvarar en familj av kurvor med samma mönster, som upplever inkongruitet i värdet på bilderna för varje punkt (x, y). Varje funktion som uppfyller detta mönster kommer att vara en individuell primitiv och uppsättningen av alla funktioner är känd som en obestämd integral.

Värdet på integrationskonstanten är det som skiljer varje funktion i praktiken.

Den konstant integrations föreslår en vertikal förskjutning i alla grafer som representerar primitiva av en funktion. Där parallelliteten mellan dem observeras och det faktum att C är värdet på förskjutningen.

Enligt vanlig praxis betecknas integrationens konstant med bokstaven "C" efter en tillägg, även om det i praktiken inte spelar någon roll om konstanten läggs till eller dras bort. Dess verkliga värde kan hittas på olika sätt under olika initiala förhållanden .

Andra betydelser av konstantens integration

Det har redan diskuterats hur integrationskonstanten tillämpas i grenen för integrerad kalkyl . Representerar en familj av kurvor som definierar den obestämda integralen. Men många andra vetenskaper och grenar har tilldelat mycket intressanta och praktiska värden för konstantens integration, vilket har underlättat utvecklingen av flera studier.

I fysiken kan konstanten för integration ta flera värden beroende på datorns natur. Ett mycket vanligt exempel är att känna till funktionen V (t) som representerar hastigheten hos en partikel mot tiden t. Det är känt att vid beräkning av en primitiv av V (t) erhålles funktionen R (t) som representerar partikelns position mot tid.

Den konstant av integration kommer att representera värdet av utgångsläget, det vill säga vid tiden t = 0.

På samma sätt, om funktionen A (t) som representerar accelerationen av partikeln mot tiden är känd. Primitivet för A (t) kommer att resultera i funktionen V (t), där integrationskonstanten är värdet på den initiala hastigheten V ₀ .

I ekonomi genom att genom integration erhålla det primitiva av en kostnadsfunktion. Den konstant integrations kommer representera de fasta kostnaderna. Och så många andra applikationer som förtjänar differentiell och integrerad beräkning.

Hur beräknas integrationskonstanten?

För att beräkna integrationskonstanten är det alltid nödvändigt att känna till de initiala villkoren . Som ansvarar för att definiera vilka av de möjliga primitiven som är motsvarande.

I många applikationer behandlas det som en oberoende variabel vid tidpunkten (t), där konstanten C tar de värden som definierar de initiala villkoren för det specifika fallet.

Om vi ​​tar det första exemplet: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Ett giltigt initialt villkor kan vara att förutsätta att grafen passerar genom en specifik koordinat. Vi vet till exempel att den primitiva (x ² + x + C) passerar genom punkten (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; detta är den allmänna lösningen

F (1) = 2

Vi ersätter den allmänna lösningen i denna jämlikhet

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Därifrån följer det enkelt att C = 0

På detta sätt är motsvarande primitiv för detta fall F (x) = x ² + x

Det finns flera typer av numeriska övningar som arbetar med konstanter för integration . Faktum är att den differentiella och integrerade beräkningen inte slutar att tillämpas i pågående undersökningar. På olika akademiska nivåer finns de; från första beräkningen, bland annat fysik, kemi, biologi, ekonomi.

Det uppskattas också i studien av differentiella ekvationer , där integrationskonstanten kan ta olika värden och lösningar, detta på grund av de flera derivat och integrationer som genomförs i denna fråga.

exempel

Exempel 1

1. En kanon som ligger 30 meter hög skjuter en projektil vertikalt uppåt. Projektilens initiala hastighet är känd för att vara 25 m / s. Besluta:

• Funktionen som definierar projektilens position med avseende på tid.
• Tidpunkten för flygning eller omedelbar tid när partikeln träffar marken.

Det är känt att i en rätlinjig rörelse jämnt varierad är accelerationen ett konstant värde. Detta är fallet med projektilutsättningen, där accelerationen blir gravitationen

g = - 10 m / s ²

Det är också känt att accelerationen är det andra deriveringen av positionen, vilket indikerar en dubbel integration i övningens upplösning, vilket således erhåller två integrationskonstanter.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

De initiala villkoren för övningen indikerar att den initiala hastigheten är V ₀ = 25 m / s. Detta är hastigheten vid tidpunkten t = 0. På detta sätt är det tillfredsställande att:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ och C ₁ = 25

Med hastighetsfunktionen definierad

V (t) = -10t + 25; Likheten kan observeras med MRUV-formeln (V _f = V ₀ + axt)

På ett homologt sätt fortsätter vi med att integrera hastighetsfunktionen för att få uttrycket som definierar positionen:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (position primitiv)

Den initiala positionen R (0) = 30 m är känd. Sedan beräknas projektilens primitiva.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Där C ₂ = 30

Exempel 2

1. Hitta det primitiva f (x) som uppfyller de initiala villkoren:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Med informationen om det andra derivatet f '' (x) = 4 börjar antideriveringsprocessen

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Sedan känner vi tillståndet f '(2) = 2, fortsätter vi:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 och f '(x) = 4x - 8

Vi fortsätter på samma sätt för den andra integrationskonstanten

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Det initiala villkoret f (0) = 7 är känt och vi fortsätter:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 och f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

På liknande sätt som det tidigare problemet definierar vi de första derivat och den ursprungliga funktionen från de initiala villkoren.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ³ /3) som + C ₁

Med villkoret f '(0) = 6 fortsätter vi:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Där C ₁ = 6 och f '(x) = (x ³ /3) som + 6

Sedan integrationens andra konstant

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ^fyra / 12) + 6x + C ₂

Det initiala villkoret f (0) = 3 är känt och vi fortsätter:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Där C ₂ = 3

Således får vi den primitiva särdragen

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Exempel 3

1. Definiera de primitiva funktionerna som ges derivat och en punkt på grafen:

• dy / dx = 2x - 2 som passerar genom punkten (3, 2)

Det är viktigt att komma ihåg att derivat hänvisar till lutningen på linjen som tangent till kurvan vid en given punkt. Där det inte är korrekt att anta att derivatets graf berör den angivna punkten, eftersom detta tillhör grafen för den primitiva funktionen.

På detta sätt uttrycker vi differentiell ekvation enligt följande:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Tillämpa det ursprungliga villkoret:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Det erhålls: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 som passerar genom punkten (0, 2)

Vi uttrycker den differentiella ekvationen enligt följande:

Tillämpa det ursprungliga villkoret:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Vi får: f (x) = x ³ - x + 2

Föreslagna övningar

Övning 1

1. Hitta det primitiva f (x) som uppfyller de initiala villkoren:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Övning 2

1. En ballong som stiger upp med en hastighet av 16 ft / s tappar en påse med sand från en höjd av 64 ft över marknivån.

• Definiera flygtiden
• Vad blir vektorn V _f när den träffar marken?

Övning 3

1. Figuren visar accelerationstidsgrafen för en bil som rör sig i den positiva riktningen för x-axeln. Bilen körde med en konstant hastighet av 54 km / h när föraren använde bromsarna för att stanna på 10 sekunder. Bestämma:

• Den första accelerationen av bilen
• Bilens hastighet vid t = 5s
• Förskjutningen av bilen under bromsning

Källa: författare

Övning 4

1. Definiera de primitiva funktionerna som ges derivat och en punkt på grafen:

• dy / dx = x som passerar genom punkten (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 som passerar genom punkten (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 som passerar genom punkten (-2, 2)

referenser

1. Integrerad kalkyl. Obestämda integrations- och integrationsmetoder. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Beräkning av en variabel. Tidiga transcendentals. Mexiko: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematik VI. Integrerad kalkyl. Mexiko: Pearson Education.
4. Fysik I. Mc Graw hill