FYRKANT: ELEMENT, EGENSKAPER, KLASSIFICERING, EXEMPEL - MATTE - 2025

En fyrkantig är en polygon med fyra sidor och fyra vertikaler. Dess motsatta sidor är de som inte har toppar gemensamt, medan på varandra följande sidor är de som har en gemensam topp.

I en fyrkantig sida delar intilliggande vinklar en sida, medan motsatta vinklar inte har några gemensamma sidor. Ett annat viktigt kännetecken för en fyrkantig är att summan av dess fyra inre vinklar är dubbelt planvinkeln, dvs.

Figur 1. Olika fyrhjulingar. Källa: F. Zapata.

Diagonaler är de segment som sammanfogar en toppunkt med motsatsen och i en given fyrkant kan en enda diagonal dras från varje toppunkt. Det totala antalet diagonaler i en fyrkant är två.

Fyrhjulingar är siffror kända för mänskligheten sedan forntiden. Arkeologiska register, liksom konstruktionerna som överlever i dag, vittnar om detta.

På samma sätt fortsätter fyrhjulingarna att ha en viktig närvaro i allas vardag. Läsaren kan hitta detta formulär på skärmen som han läser texten just nu, på fönster, dörrar, bildelar och otaliga andra platser.

Fyrkantig klassificering

Enligt de motsatta sidornas parallellitet klassificeras de fyrkantiga sidorna enligt följande:

1. Trapezoid, när det inte finns någon parallellism och den fyrkantiga är konvex.
2. Trapezoid, när det finns parallellitet mellan ett enda par motsatta sidor.
3. Parallelogram, när dess motsatta sidor är parallella två för två.

Bild 2. Klassificering och underklassificering av fyrhjulingar. Källa: Wikimedia Commons.

Typer av parallellogram

I sin tur kan parallellogrammen klassificeras enligt deras vinklar och sidor enligt följande:

1. Rektangel är det parallellogram som har sina fyra inre vinklar av lika stor mått. De inre vinklarna på en rektangel bildar en rät vinkel (90º).
2. Fyrkantigt, det är en rektangel med sina fyra sidor av lika stor mått.
3. Rhombus är parallellogrammet med sina fyra lika sidor, men olika angränsande vinklar.
4. Rhomboid, parallellogram med olika angränsande vinklar.

Trapets

Trapesformen är en konvex fyrkantig med två parallella sidor.

Bild 3. Bas, sidor, höjd och median hos en trapesform. Källa: Wikimedia Commons.

- I en trapezoid kallas de parallella sidorna baser och de icke-parallella sidorna kallas lateraler.

- Trapezoidens höjd är avståndet mellan de två baserna, det vill säga längden på ett segment med ändar vid baserna och vinkelrätt mot dem. Detta segment kallas också en trapezoidhöjd.

- Medianen är det segment som sammanfogar sidopunkternas mittpunkter. Det kan visas att medianen är parallell med trapesformens baser och dess längd är lika med basens semisum.

- Området för en trapezoid är dess höjd multiplicerad med semisummen av baserna:

Typer av trapezoider

-Rektangulär trapezoid : det är den med en sida vinkelrätt mot baserna. Denna sida är också trapezens höjd.

-Isosceles trapezoid : den med sidor med samma längd. I en likgiltig trapezoid är vinklarna intill baserna lika.

-Scalene trapez : den med sidorna i olika längder. Dess motsatta vinklar kan vara en akut och den andra stöt, men det kan också hända att båda är stöt eller båda akuta.

Figur 4. Typ av trapez. Källa: F. Zapata.

Parallellogram

Parallellogrammet är en fyrkantig vars motsatta sidor är parallella två för två. I ett parallellogram är de motsatta vinklarna lika och de intilliggande vinklarna är kompletterande, eller uttryckt på ett annat sätt, de intilliggande vinklarna lägger till 180 °.

Om ett parallellogram har en rät vinkel, kommer alla andra vinklar också att vara, och den resulterande figuren kallas en rektangel. Men om rektangeln också har sina angränsande sidor av samma längd, är alla dess sidor lika och den resulterande figuren är en kvadrat.

Figur 5. Parallelogram. Rektangeln, fyrkanten och romb är parallellogram. Källa: F. Zapata.

När ett parallellogram har två intilliggande sidor av samma längd, kommer alla dess sidor att vara samma längd, och den resulterande figuren är en romb.

Parallellogramets höjd är ett segment med ändar på motsatta sidor och vinkelrätt mot dem.

Area av ett parallellogram

Arealet för ett parallellogram är basens produkt gånger dess höjd, basen är en sida vinkelrätt mot höjden (figur 6).

Diagonaler av ett parallellogram

Diagonalens kvadrat som startar från ett toppunkt är lika med summan av kvadraten på de två sidorna intill nämnda toppunkt plus den dubbla produkten från dessa sidor med kosinus i vinkeln på det toppunktet:

f ² = en ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figur 6. Parallelogram. Motsatta vinklar, höjd, diagonaler. Källa: F. Zapata.

Diagonalens kvadrat mittemot ett parallellograms topp är lika med summan av kvadraten på de två sidorna intill toppmaterialet och subtraherar dubbelprodukten från dessa sidor med kosinus i vinkeln på den toppunkten:

g ² = en ² + d ² - 2 annons Cos (α)

Parallellogramlag

I vilket parallellogram som helst är summan av kvadraterna på dess sidor lika med summan av kvadraten på diagonalerna:

en ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Rektangeln är en fyrkant med sina motsatta sidor parallella två för två och som också har en rät vinkel. Med andra ord är rektangeln en typ av parallellogram med rätt vinkel. Eftersom det är ett parallellogram har rektangelen motsatta sidor med samma längd a = c och b = d.

Men som i alla parallellogram är de intilliggande vinklarna kompletterande och motsatta vinklar lika, i rektangeln eftersom den har en rät vinkel, kommer den nödvändigtvis att bilda rätvinklar i de tre andra vinklarna. Med andra ord, i en rektangel mäter alla inre vinklar 90 ° eller π / 2 radianer.

Diagonaler av en rektangel

I en rektangel är diagonalerna lika långa, vilket kommer att visas nedan. Resonemanget är som följer; En rektangel är ett parallellogram med alla dess rätvinklar och ärver därför alla parallellogramets egenskaper, inklusive formeln som ger längden på diagonalerna:

f ² = en ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = en ² + d ² - 2 annons Cos (α)

med α = 90º

Eftersom Cos (90º) = 0, händer det att:

f ² = g ² = en ² + d ²

Det vill säga f = g, och därför är längderna f och g för rektangelns två diagonaler lika och deras längd ges av:

Vidare, om en sida i en rektangel med angränsande sidor a och b tas som bas, kommer den andra sidan att vara höjd och följaktligen blir rektangelns area

Rektangelns yta = yxa b.

Omkretsen är summan av alla rektangelns sidor, men eftersom motsatserna är lika följer det att för en rektangel med sidorna a och b ges perimetern med följande formel:

Rektangelns omkrets = 2 (a + b)

Bild 7. Rektangel med sidorna a och b. Diagonalerna f och g har samma längd. Källa: F. Zapata.

Fyrkant

Torget är en rektangel med dess intilliggande sidor i samma längd. Om fyrkanten har sida a, har dess diagonaler f och g samma längd, vilket är f = g = (√2) a.

En kvadratisk yta är dess kvadratiska sida:

Ytan på en kvadrat = a ²

Omkretsen på en kvadrat är två gånger sidan:

Kvadratets omkrets = 4a

Bild 8. Fyrkant med sidan a, som anger dess yta, dess omkrets och längden på dess diagonaler. Källa: F. Zapata ..

Diamant

Rhombus är ett parallellogram med dess intilliggande sidor samma längd, men eftersom i ett parallellogram de motsatta sidorna är lika är alla sidor på en rhombus lika långa.

Diagonalerna i en romb har olika längd, men de korsar vinkelrätt.

Bild 9. Romb på sidan a, som anger dess yta, dess omkrets och längden på dess diagonaler. Källa: F. Zapata.

exempel

Exempel 1

Visa att de inre vinklarna i en fyrkantig (inte korsad) lägger till 360º.

Bild 10: Det visas hur summan av vinklarna på en fyrkantig utgör 360 °. Källa: F. Zapata.

En fyrkantig ABCD beaktas (se figur 10) och diagonalen BD ritas. Två trianglar ABD och BCD bildas. Summan av de inre vinklarna i triangeln ABD är:

a + p ₁ + 5 ₁ = 180 °

Och summan av de inre vinklarna i triangeln BCD är:

p2 + y + 5 ₂ = 180º

Lägga till de två ekvationerna som vi får:

α + ß ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180 + + 180 º

gruppering:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Genom att gruppera och byta namn, visas slutligen att:

a + p + 5 + y = 360º

Exempel 2

Visa att medianen för en trapezoid är parallell med dess baser och att dess längd är basens semisum.

Figur 11. Median MN för trapezium ABCD. Källa: F. Zapata.

Medianen för en trapezoid är det segment som sammanfogar mittpunkterna på dess sidor, det vill säga de icke-parallella sidorna. I trapezoid ABCD som visas i figur 11 är medianen MN.

Eftersom M är mittpunkten för AD och N är mittpunkten för BC, är AM / AD och BN / BC förhållandena lika.

Det vill säga AM är proportionellt mot BN i samma andel som AD är till BC, så villkoren ges för tillämpningen av Thales '(ömsesidiga) teorem som anger följande:

"Om proportionella segment bestäms i tre eller flera rader som skärs av två sekanter, är alla dessa linjer parallella."

I vårt fall dras slutsatsen att linjerna MN, AB och DC är parallella med varandra, därför:

"Medianen för en trapezoid är parallell med dess baser."

Nu kommer Thales teorem att tillämpas:

"En uppsättning paralleller som skärs av två eller flera sekanter bestämmer proportionella segment."

I vårt fall AD = 2 AM, AC = 2 AO, så triangeln DAC liknar triangeln MAO, och följaktligen DC = 2 MO.

Ett liknande argument tillåter oss att bekräfta att CAB liknar CON, där CA = 2 CO och CB = 2 CN. Det följer omedelbart att AB = 2 PÅ.

Kort sagt AB = 2 ON och DC = 2 MO. Så när vi lägger till har vi:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Slutligen rensas MN:

MN = (AB + DC) / 2

Och det dras slutsatsen att medianen för en trapezoid mäter semisummen på baserna, eller uttrycker ett annat sätt: medianen mäter summan av baserna, dividerat med två.

Exempel 3

Visa att diagonalerna korsar varandra i rät vinkel i en romb.

Figur 12. Rhombus och demonstration av att dess diagonaler korsar varandra i vinkel. Källa: F. Zapata.

Tavlan i figur 12 visar den nödvändiga konstruktionen. Först ritas parallellogram ABCD med AB = BC, det vill säga en romb. Diagonaler AC och DB bestämmer åtta vinklar som visas i figuren.

Med hjälp av teoremet (aip) som säger att alternerande inre vinklar mellan paralleller som skärs av en sekant bestämmer lika vinklar, kan vi fastställa följande:

a ₁ = y ₁ , a2 = y2, 5 ₁ = p ₁ och 5 = p2. (*)

Å andra sidan, eftersom de intilliggande sidorna av en romb har samma längd bestäms fyra likställiga trianglar:

DAB, BCD, CDA och ABC

Nu åberopas triangeln (isosceles) teorem som säger att vinklarna intill basen är lika stora, varifrån man drar slutsatsen att:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ och α ₁ = γ2 (**)

Om förhållandena (*) och (**) kombineras uppnås följande lika vinklar:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ å ena sidan och β ₁ = 22 = δ ₁ = δ2 å andra sidan .

Påminner om de lika trianglarna som säger att två trianglar med en lika sida mellan två lika vinklar är lika, vi har:

AOD = AOB och följaktligen också vinklarna ∡AOD = ∡AOB.

Sedan ∡AOD + ∡AOB = 180º, men eftersom båda vinklarna är lika stora, har vi 2 ∡AOD = 180º vilket innebär att ∡AOD = 90º.

Det vill säga, det visas geometriskt att diagonalerna i en romb korsar varandra vinkelrätt.

Övningar löst

- Övning 1

Visa att i en rät trapezoid är de icke-högra vinklarna kompletterande.

Lösning

Bild 13. Höger trapez. Källa: F. Zapata.

Trapezoid ABCD är konstruerad med baser AB och DC parallella. Den inre vinkeln i toppunkt A är rätt (den mäter 90º), så vi har en rätt trapezoid.

Vinklarna a och δ är inre vinklar mellan två paralleller AB och DC, därför är de lika, det vill säga δ = α = 90º.

Å andra sidan har det visats att summan av de inre vinklarna på en fyrkantig utgör 360 °, det vill säga:

α + ß + γ + δ = 90 º + ß + 90 + + = = 360..

Ovanstående leder till:

p + 5 = 180 °

Bekräfta vad som ville visas, att vinklarna β och δ är kompletterande.

- Övning 2

Ett parallellogram ABCD har AB = 2 cm och AD = 1 cm, dessutom är vinkeln BAD 30º. Bestäm området för detta parallellogram och längden på dess två diagonaler.

Lösning

Arealet för ett parallellogram är produkten av längden på basen och dess höjd. I detta fall kommer längden på segmentet b = AB = 2 cm att tas som bas, den andra sidan har längd a = AD = 1 cm och höjden h kommer att beräknas enligt följande:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Så: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

referenser

1. CEA (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionella patria.
3. Freed, K. (2007). Upptäck polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserade polygoner. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematik Första termin Tacaná. IGER.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen och Hornsby. (2006). Matematik: resonemang och tillämpningar (tionde upplagan). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionell progreso.
9. Wikipedia. Quadrilaterals. Återställd från: es.wikipedia.com