PARTIELLA FRAKTIONER: FALL OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

De partiella fraktionerna är fraktioner bildade av polynomier, i vilka nämnaren kan vara en linjär eller kvadratisk polynom och också kan höjas till en kraft. Ibland när vi har rationella funktioner är det mycket användbart att skriva om denna funktion som en summa av partiella fraktioner eller enkla bråk.

Det är så eftersom vi på detta sätt kan manipulera dessa funktioner på ett bättre sätt, särskilt i fall där det är nödvändigt att integrera nämnda applikation. En rationell funktion är helt enkelt kvoten mellan två polynomier, och de kan vara korrekta eller felaktiga.

Om graden av polynomialet för telleren är mindre än nämnaren kallas det för en rationell korrekt funktion; annars är det känt som en felaktig rationell funktion.

Definition

När vi har en felaktig rationell funktion kan vi dela upp polynomialet i telleren med nämnarens polynomial och därmed skriva om fraktionen p (x) / q (x), efter delningsalgoritmen som t (x) + s (x) / q (x), där t (x) är ett polynom och s (x) / q (x) är en korrekt rationell funktion.

En partiell fraktion är vilken som helst korrekt funktion av polynomier, vars nämnar är av formen (ax + b) ⁿ eller (ax ² + bx + c) ⁿ , om polynom axen ² + bx + c inte har några riktiga rötter och n är ett tal naturlig.

För att skriva om en rationell funktion i partiella fraktioner är det första att göra nämnaren q (x) som en produkt av linjära och / eller kvadratiska faktorer. När detta är gjort bestäms de partiella fraktionerna, som beror på arten av dessa faktorer.

fall

Vi behandlar flera fall separat.

Fall 1

Faktorerna för q (x) är alla linjära och ingen upprepas. Det vill säga:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ ) … (a _s x + b _s )

Ingen linjär faktor är identisk med en annan. När detta fall inträffar kommer vi att skriva:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _s ).

Där A ₁ , A ₂ , …, _As är de konstanter som finns.

Exempel

Vi vill sönderdela den rationella funktionen i enkla bråk:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Vi fortsätter med att faktorera nämnaren, det vill säga:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Sedan:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Tillämpar minst vanliga multipel kan det erhållas att:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vi vill få värdena på konstanterna A, B och C, som kan hittas genom att ersätta de rötter som avbryter var och en av termerna. Att ersätta 0 för x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Att ersätta - 1 för x har vi:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Att ersätta - 2 för x har vi:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

På detta sätt erhålls värdena A = –1/2, B = 2 och C = –3/2.

Det finns en annan metod för att erhålla värdena A, B och C. Om på höger sida av ekvationen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x vi kombinerar termer, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Eftersom detta är en jämlikhet av polynomier, har vi att koefficienterna på vänster sida måste vara lika med dem på höger sida. Detta resulterar i följande ekvationssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Lösning av detta ekvationssystem får vi resultaten A = –1/2, B = 2 och C = -3/2.

Slutligen, genom att ersätta de erhållna värdena har vi att:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Fall 2

Faktorerna för q (x) är alla linjära och vissa upprepas. Anta att (ax + b) är en faktor som upprepar "s" gånger; sedan motsvarar denna faktor summan av «s» partiella fraktioner.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 + … + A ₁ / (ax + b).

Där A _s , A _s-1 , …, A ₁ är de konstanter som skall bestämmas. Med följande exempel kommer vi att visa hur man bestämmer dessa konstanter.

Exempel

Sönderdelas i partiella fraktioner:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Vi skriver den rationella funktionen som en summa av partiella fraktioner enligt följande:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

Sedan:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Att ersätta 2 för x, har vi att:

7 = 4C, det vill säga C = 7/4.

Att ersätta 0 för x har vi:

- 1 = –8A eller A = 1/8.

Att ersätta dessa värden i den föregående ekvationen och utveckla, har vi att:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Utjämningskoefficienter får vi följande ekvationssystem:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Att lösa systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

För detta måste vi:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Fall 3

Faktorerna för q (x) är linjära kvadratiska utan några upprepade kvadratiska faktorer. I detta fall kommer den kvadratiska faktorn (ax ² + bx + c) att motsvara den partiella fraktionen (Ax + B) / (ax ² + bx + c), där konstanterna A och B är de som ska bestämmas.

Följande exempel visar hur man fortsätter i det här fallet

Exempel

Sönderdelas i enkla fraktioner a (x + 1) / (x ³ - 1).

Först fortsätter vi med att faktorera nämnaren, vilket ger oss som resultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan observera att (x ² + x + 1) är en oåterkallelig kvadratisk polynom; det vill säga den har inte riktiga rötter. Dess nedbrytning i partiella fraktioner kommer att vara följande:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Från detta får vi följande ekvation:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Genom att använda jämställdhet mellan polynomier får vi följande system:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Från detta system har vi att A = 2/3, B = - 2/3 och C = 1/3. Att ersätta, vi har det:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Ärende 4

Slutligen är fall 4 det där faktorerna för q (x) är linjära och kvadratiska, där några av de linjära kvadratiska faktorerna upprepas.

I detta fall, om (ax ² + bx + c) är en kvadratisk faktor som upprepar "s" gånger, kommer den delvisa fraktionen som motsvarar faktorn (ax ² + bx + c) att vara:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) + … + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B) _s ) / (ax ² + bx + c) ^s

Där A _s , A _s-1 , …, A och B _s , B _s-1 , …, B är de konstanter som skall bestämmas.

Exempel

Vi vill bryta ned följande rationella funktion i partiella fraktioner:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Eftersom x ² - 4x + 5 är en oreducerbar kvadratisk faktor, har vi att dess sönderdelning i partiella fraktioner ges av:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Förenkla och utveckla har vi:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Från ovanstående har vi följande ekvationssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

När vi löser systemet sitter vi kvar med:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 och E = - 3/5.

Genom att ersätta de erhållna värdena har vi:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

tillämpningar

Integrerad kalkyl

Partiella fraktioner används främst för att studera integrerad kalkyl. Här är några exempel på hur du utför integraler med hjälp av partiella fraktioner.

Exempel 1

Vi vill beräkna integralen av:

Vi kan se att nämnaren q (x) = (t + 2) ² (t + 1) består av linjära faktorer där en av dessa upprepas; Det är därför vi är i fall 2.

Vi måste:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi skriver om ekvationen och vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Om t = - 1 har vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Om t = - 2 ger det oss:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Sedan, om t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Att ersätta värdena för A och C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Från ovanstående har vi att B = - 1.

Vi skriver om integralen som:

Vi fortsätter att lösa det med substitutionsmetoden:

Detta är resultatet:

Exempel 2

Lös följande integral:

I detta fall kan vi faktor aq (x) = x ² - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Vi är tydligt i fall 1. Därför:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan också uttryckas som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Om x = - 2 har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Och om x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Således står vi kvar med att lösa den givna integralen motsvarar lösningen:

Detta ger oss som ett resultat:

Exempel 3

Lös integralen:

Vi har q (x) = 9x ⁴ + x ² , som vi kan faktorera i q (x) = x ² (9x ² + 1).

Den här gången har vi en upprepad linjär faktor och en kvadratisk faktor; det vill säga vi är i fall 3.

Vi måste:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Gruppera och använda lika polynom har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Från detta ekvationssystem har vi:

D = - 9 och C = 0

På detta sätt har vi:

Genom att lösa ovanstående har vi:

Massa lag

En intressant tillämpning av de partiella fraktionerna som tillämpas på den integrerade kalkylen finns i kemi, mer exakt i lagen om massverkan.

Anta att vi har två ämnen, A och B, som går samman och bildar ett ämne C, så att derivatet av mängden C med avseende på tid står i proportion till produkten av mängderna A och B vid varje given ögonblick.

Vi kan uttrycka lagen om massaktioner enligt följande:

I detta uttryck är a det initiala antalet gram som motsvarar A och ß det initiala antalet gram som motsvarar B.

Vidare representerar r och s antalet gram A respektive B som kombineras för att bilda r + s gram C. För sin del representerar x antalet gram ämne C vid tiden t, och K är konstant av proportionalitet. Ovanstående ekvation kan skrivas om som:

Gör följande förändring:

Vi har att ekvationen blir:

Från detta uttryck kan vi få:

Där om a ≠ b kan delvisa fraktioner användas för integration.

Exempel

Låt oss till exempel ta ett ämne C som uppstår genom att kombinera ett ämne A med en B på ett sådant sätt att masslagen uppfylls där värdena a och b är 8 respektive 6. Ge en ekvation som ger oss värdet på gram C som en funktion av tiden.

Att ersätta värdena i den givna masslagen har vi:

Vid separering av variabler har vi:

Här kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrivas som summan av partiella fraktioner, enligt följande:

Således 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Om vi ​​ersätter 6 för x, har vi B = 1/2; och genom att ersätta 8 med x, har vi A = - 1/2.

Integrering genom partiella fraktioner har vi:

Detta ger oss som ett resultat:

Differentialekvationer: logistisk ekvation

En annan tillämpning som kan ges till partiella fraktioner är i den logistiska differentiella ekvationen. I enkla modeller har vi att tillväxttakten för en befolkning är proportionell mot dess storlek; det vill säga:

Detta fall är ett ideal och anses vara realistiskt tills det händer att de tillgängliga resurserna i ett system är otillräckliga för att stödja befolkningen.

I dessa situationer är det mest rimliga att tro att det finns en maximal kapacitet, som vi kommer att kalla L, att systemet kan upprätthålla, och att tillväxthastigheten är proportionell mot befolkningsstorleken multiplicerad med den tillgängliga storleken. Detta argument leder till följande differentiella ekvation:

Detta uttryck kallas den logistiska differentiella ekvationen. Det är en separerbar differentiell ekvation som kan lösas med integreringsmetoden för partiell fraktion.

Exempel

Ett exempel skulle vara att betrakta en population som växer enligt följande logistiska skillnadsekvation y '= 0.0004y (1000 - y), vars initiala data är 400. Vi vill veta storleken på befolkningen vid tiden t = 2, där t mäts i år.

Om vi ​​skriver y med Leibnizs notation som en funktion som beror på t, har vi:

Integralen på vänster sida kan lösas med hjälp av integreringsmetoden för partiell fraktion:

Vi kan skriva om denna sista jämlikhet på följande sätt:

- Att ersätta y = 0 har vi att A är lika med 1/1000.

- Att ersätta y = 1000 har vi att B är lika med 1/1000.

Med dessa värden är integralen enligt följande:

Lösningen är:

Använda initialdata:

När vi rensar och vi har:

Då har vi det vid t = 2:

Sammanfattningsvis är befolkningsstorleken efter 2 år cirka 597,37.

referenser

1. A, RA (2012). Matematik 1. Universidad de los Andes. Publikationsrådet.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Lösta integraler. National Experimental University of Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Beräkningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beräkning. Mexiko: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Integrerad kalkyl. Hypotenusa.