KEPLERS LAGAR: FÖRKLARING, ÖVNINGAR, EXPERIMENT - FYSISK - 2025

Den Kepler 's lagar av planetrörelser gjordes av den tyska astronomen Johannes Kepler (1571-1630). Kepler härledde dem baserat på arbetet med sin lärare, den danska astronomen Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe sammanställde noggrant uppgifterna om planetrörelser under mer än 20 år, med överraskande precision och noggrannhet, med tanke på att teleskopet vid den tidpunkten ännu inte hade uppfunnits. Giltigheten för dina data förblir giltig även i dag.

Bild 1. Planeternas banor enligt Keplers lagar. Källa: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Keplers tre lagar

Keplers lagar anger:

-Första lagen : alla planeter beskriver elliptiska banor med solen i en av fokuserna.

Detta innebär att förhållandet T ² / r ³ är den samma för alla planeter, vilket gör det möjligt att beräkna den omloppsradie, om omlopps perioden är känd.

När T uttrycks i år och r i astronomiska enheter AU *, är proportionalitetskonstanten k = 1:

* En astronomisk enhet motsvarar 150 miljoner kilometer, vilket är det genomsnittliga avståndet mellan jorden och solen. Jordens omloppsperiod är 1 år.

Lagen om universell gravitation och Keplers tredje lag

Den universella gravitationslagen säger att storleken på dragningskraften för attraktion mellan två objekt av massorna M respektive m, vars centra är åtskilda med ett avstånd r, ges av:

G är den universella gravitationskonstanten och dess värde är G = 6,674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ² .

Nu är planets banor elliptiska med en mycket liten excentricitet.

Detta innebär att banan inte är så långt ifrån en periferi, förutom i vissa fall som dvärgplaneten Pluto. Om vi ​​närmar oss banorna till den cirkulära formen är planetens rörelse acceleration:

Eftersom F = ma har vi:

Här är v linjär hastighet för planeten runt solen, antagen statisk och med massan M, medan planetens m är m. Så:

Detta förklarar att planeterna längre från solen har en lägre omloppshastighet, eftersom detta beror på 1 / √r.

Eftersom avståndet planeten rör sig är ungefär längden på omkretsen: L = 2πr och det tar en tid som är lika med T, omloppsperioden, får vi:

Likställa båda uttrycken för v ger ett giltigt uttryck för T ² , kvadraten på omloppstid:

Och det är just Keplers tredje lag, eftersom detta uttryck parentes 4n ² / GM är konstant, alltså T ² är proportionell mot avståndet r kubik.

Den definitiva ekvationen för omloppsperioden erhålls genom att ta kvadratroten:

Figur 3. Aphelion och perihelion. Källa: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public domain

Därför ersätter vi r i Keplers tredje lag, vilket resulterar för Halley i:

Lösning b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Experimentera

Att analysera planets rörelse kräver veckor, månader och till och med år med noggrann observation och inspelning. Men i laboratoriet kan ett mycket enkelt experiment genomföras i en mycket enkel skala för att bevisa att Keplers lag om lika områden gäller.

Detta kräver ett fysiskt system där kraften som styr rörelsen är central, ett tillräckligt villkor för att lagen i områden ska kunna uppfyllas. Ett sådant system består av en massa bunden till ett långt rep, med den andra änden av gängan fixerad på ett stöd.

Massan förflyttas med en liten vinkel från dess jämviktsposition och en liten impuls ges till den, så att den utför en oval (nästan elliptisk) rörelse i det horisontella planet, som om det var en planet runt solen.

På den kurva som beskrivs av pendeln kan vi bevisa att den sveper lika områden i samma tider, om:

-Vi överväger vektorradier som går från centrum för attraktion (initial jämviktspunkt) till massans position.

-Og vi sopar mellan två på varandra följande ögonblick med samma varaktighet, i två olika rörelsearter.

Ju längre pendelsträngen och desto mindre är vinkeln från vertikalen, nettoåterställningskraften kommer att vara mer horisontell och simuleringen liknar fallet med rörelse med central kraft i ett plan.

Sedan närmar sig den beskrivna ovalen en ellips, till exempel den som planeterna rör sig på.

material

-Förlänglig tråd

-1 massa eller metallkula målad vit som fungerar som en pendelbob

-Linjal

-Transportband

-Fotografisk kamera med automatisk strobskiva

Stöder

-Två belysningskällor

- Ett ark svart papper eller kartong

Bearbeta

Samlingen av figuren behövs för att ta foton av flera blinkningar av pendeln när den följer sin väg. För detta måste du placera kameran precis ovanför pendeln och den automatiska strobskivan framför linsen.

Bild 4. Montering av pendeln för att kontrollera att den sveper lika områden i lika tider. Källa: PSSC Laboratory Guide.

På detta sätt erhålls bilder med regelbundna tidsintervall av pendeln, till exempel varje 0,1 eller 0,2 sekund, vilket gör att vi kan veta tiden det tog att flytta från en punkt till en annan.

Du måste också lysa upp pendelens massa ordentligt och placera lamporna på båda sidor. Linsen ska målas vit för att förbättra kontrasten på bakgrunden, som består av ett svart pappersspridning på marken.

Nu måste du kontrollera att pendeln sopar lika stora områden i samma tider. För att göra detta väljs ett tidsintervall och de punkter som upptas av pendeln i det intervallet markeras på papperet.

En linje ritas på bilden från mitten av ovalen till dessa punkter och därmed får vi det första av områdena som sopas av pendeln, vilket är ungefär en elliptisk sektor som den som visas nedan:

Bild 5. Område i en elliptisk sektor. Källa: F. Zapata.

Beräkning av området för det elliptiska avsnittet

Med gradskivan mäts vinklarna _o och θ ₁ , och denna formel används för att hitta S, området för den elliptiska sektorn:

Med F (θ) som ges av:

Observera att a och b är de viktigaste respektive mindre halvaxlarna. Läsaren behöver bara oroa sig för att noggrant mäta halvaxlarna och vinklarna, eftersom det finns kalkylatorer online för att utvärdera detta uttryck enkelt.

Men om du insisterar på att göra beräkningen för hand, kom ihåg att vinkeln θ mäts i grader, men när du matar in data i kalkylatorn måste värdena uttryckas i radianer.

Då måste du markera ytterligare ett par punkter där pendeln har inverterat samma tidsintervall och rita motsvarande område, beräkna dess värde med samma procedur.

Verifiering av lagen om lika områden

Slutligen återstår det att verifiera att lagen i områden är uppfylld, det vill säga att lika områden sopas i samma tider.

Avviker resultaten lite från vad som förväntades? Man måste alltid komma ihåg att alla mätningar åtföljs av deras respektive experimentfel.

referenser

1. Keisan Online Calculator. Område för en elliptisk sektorkalkylator. Återställd från: keisan.casio.com.
2. Openstax. Keplers lag om planeten. Återställd från: openstax.org.
3. PSSC. Laboratoriefysik. Redaktör Reverté. Återställs från: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomi. Schaum-serien. McGraw Hill.
5. Pérez R. Enkelt system med central kraft. Återställd från: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, D. Keplers tre lagar om planetrörelse. Återställd från: phy6.org.