YOUNGS MODUL: KALKYL, APPLIKATIONER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den Youngs modul eller elasticitetsmodul är den konstanta avseende drag- eller kompression med respektive ökning eller minskning i längd med föremålet under dessa krafter.

Yttre krafter som appliceras på föremål kan inte bara ändra deras rörelsestillstånd, utan kan också ändra form eller till och med bryta eller spricka dem.

Bild 1. Kattens rörelser är fulla av elasticitet och nåd. Källa: Pixabay.

Youngs modul används för att studera de förändringar som produceras i ett material när en drag- eller tryckkraft appliceras externt. Det är mycket användbart inom ämnen som teknik eller arkitektur.

Modellen är skyldig sitt namn till den brittiska forskaren Thomas Young (1773-1829), som var den som genomförde materialstudier som föreslog ett mått på styvheten hos olika material.

Vad är Youngs modell?

Youngs modell är ett mått på styvhet. I material med låg styvhet (röd) finns det mer deformation under en förlängning eller kompressionsbelastning. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Hur mycket kan ett objekt deformeras? Detta är något som ingenjörer ofta vill veta. Svaret kommer att bero på materialets egenskaper och dimensioner.

Du kan till exempel jämföra två stänger av aluminium med olika dimensioner. Var och en har olika tvärsnittsarea och längd och båda utsätts för samma dragkraft.

Det förväntade beteendet är följande:

- Ju större tjocklek (tvärsnitt) på stången, desto mindre sträckning.

- Ju längre initial längd, desto större är den slutliga sträckningen.

Detta är meningsfullt, för erfarenheten visar trots allt att försöka deformera ett gummiband inte är detsamma som att försöka göra det med en stålstång.

En parameter som kallas materialets elasticitetsmodul är en indikation på dess elastiska respons.

Hur beräknas det?

Som läkare ville Young veta vilken roll artärernas elasticitet spelar för blodcirkulationens goda prestanda. Från sina erfarenheter avslutade han följande empiriska förhållande:

Det är möjligt att grafiskt representera beteendet hos ett material under applicering av spänning, såsom visas i följande figur.

Figur 2. Diagram över stress kontra belastning för ett material. Källa: självgjord.

Från ursprung till punkt A

I det första avsnittet, som går från ursprung till punkt A, är diagrammet en rak linje. Hookes lag är giltig där:

F = kx

När F är storleken på kraften som återför materialet till sitt ursprungliga tillstånd, är x deformationen som det upplevs och k är en konstant som beror på föremålet som utsätts för spänningen.

Deformationerna som beaktas här är små och beteendet är perfekt elastiskt.

Från A till B

Från A till B uppträder materialet också elastiskt, men förhållandet mellan stress och belastning är inte längre linjärt.

Från B till C

Mellan punkterna B och C genomgår materialet permanent deformation och kan inte återgå till sitt ursprungliga tillstånd.

Från C

Om materialet fortsätter att sträcka sig från punkt C bryts det så småningom.

Matematiskt kan Youngs observationer sammanfattas enligt följande:

Stress ∝ Stam

Där proportionalitetskonstanten just är materialets elasticitetsmodul:

Stress = Elasticitetsmodul x Deformation

Det finns många sätt att deformera material. De tre vanligaste typerna av stress som ett objekt utsätts för är:

- Spänning eller sträckning.

- Komprimering.

- Klipp eller klipp.

En påfrestning att material ofta utsätts för, till exempel i civilt byggande eller bildelar, är dragkraft.

formler

När ett föremål med längd L är sträckt eller spänt utsätts det för en dragkraft som orsakar en variation i dess längd. Ett diagram över denna situation visas i figur 3.

Detta kräver att en kraft av storleken F appliceras per enhetsarea till dess ändar för att orsaka sträckning, på ett sådant sätt att dess nya längd blir L + DL.

Insatsen som görs för att deformera föremålet kommer att vara just denna kraft per enhetsarea, medan den belastning som upplevs är ΔL / L.

Bild 3. Ett föremål som utsätts för dragkraft eller sträckning upplever förlängning. Källa: självgjord.

Betecknar Youngs modul som Y och enligt ovan:

Svaret ligger i det faktum att stammen indikerar den relativa belastningen med avseende på den ursprungliga längden. Det är inte samma sak som en 1 m bar sträcker sig eller krymper med 1 cm, eftersom en 100 meter lång struktur är lika deformerad med 1 cm.

För att delar och strukturer ska fungera korrekt finns det en tolerans när det gäller tillåtna relativa deformationer.

Ekvation för att beräkna deformation

Om ovanstående ekvation analyseras enligt följande:

- Ju större tvärsnittsarea, desto mindre deformation.

- Ju längre längd, desto större är deformationen.

- Ju högre Young's modul, desto lägre är deformationen.

Spänningsenheter motsvarar newton / kvadratmeter (N / m ² ). De är också tryckenheterna, som i det internationella systemet bär namnet Pascal. Stammen ΔL / L är å andra sidan dimensionlöst eftersom det är kvoten mellan två längder.

Enheterna i det engelska systemet är lb / in ² och används också mycket ofta. Konverteringsfaktorn för att gå från en till en annan är: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Detta leder till att Young's modul också har tryckenheter. Slutligen kan ovanstående ekvation uttryckas för att lösa för Y:

Inom materialvetenskap är dessa elastiska svar på olika ansträngningar viktiga för att välja det mest lämpliga för varje applikation, oavsett om det är tillverkning av en flygvinge eller ett billager. Egenskaperna hos materialet som ska användas är avgörande för det svar som förväntas av det.

För att välja det bästa materialet är det nödvändigt att känna till de spänningar som en viss bit kommer att utsättas för; och välj därför det material som har egenskaperna mest i linje med designen.

Till exempel måste vingen på ett flygplan vara stark, lätt och kunna böjas. Materialen som används i byggandet av byggnader måste motstå seismiska rörelser i stor utsträckning, men de måste också ha viss flexibilitet.

Ingenjörer som designar flygvingar och även de som väljer byggmaterial måste använda sig av spänningsanpassade grafer som de som visas i figur 2.

Mätningar för att bestämma de mest relevanta elastiska egenskaperna hos ett material kan utföras i specialiserade laboratorier. Således finns det standardiserade test till vilka proverna utsätts, på vilka olika spänningar appliceras, och de resulterande deformationerna mäts sedan.

exempel

Som redan nämnts ovan beror Y inte på objektets storlek eller form utan på materialets egenskaper.

En annan mycket viktig punkt: för att ekvationen som anges ovan ska vara tillämplig måste materialet vara isotropiskt, det vill säga dess egenskaper måste förbli oförändrade hela tiden.

Inte alla material är isotropiska: det finns sådana vars elastiska respons beror på vissa riktningsparametrar.

Deformationen som analyserades i de tidigare segmenten är bara en av de många som ett material kan utsättas för. När det gäller tryckspänning är det till exempel motsatsen till dragspänning.

De angivna ekvationerna gäller för båda fallen, och värdena på Y är nästan alltid desamma (isotropiska material).

Ett anmärkningsvärt undantag är betong eller cement, som motstår kompression bättre än dragkraft. Därför måste den förstärkas när motstånd mot sträckning krävs. Stål är det material som anges för detta eftersom det motstår sträckning eller dragkraft mycket bra.

Exempel på strukturer som utsätts för stress inkluderar byggande kolumner och valv, klassiska byggnadselement i många gamla och moderna civilisationer.

Bild 4. Pont Julien, en romersk konstruktion från 3 f.Kr. i södra Frankrike.

Lösta övningar

Övning 1

En 2,0 m lång ståltråd i ett musikinstrument har en radie på 0,03 mm. När kabeln har en spänning på 90 N: hur mycket ändras dess längd? Data: Youngs stålmodul är 200 x 10 ⁹ N / m ²

Lösning

Det krävs att beräkna tvärsnittsarean A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 m) ² = 2,83 x ^10-9 m ²

Stress är stress per enhet:

Eftersom strängen är under spänning betyder det att den förlängs.

Den nya längden är L = L _o + DL, där L _o är den initiala längden:

L = 2,32 m

Övning 2

En marmorspelare, vars tvärsnittsarea är 2,0 m ^2, stöder en massa på 25 000 kg. Hitta:

a) Insatsen i ryggraden.

b) Sila.

c) Hur mycket kortare är kolonnen om dess höjd är 12 m?

Lösning

a) Insatsen i kolonnen beror på vikten på 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245 000 N

Därför är ansträngningen:

b) Stammen är ΔL / L:

c) ΔL är variationen i längden, givet av:

AL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Marmorspelaren förväntas inte krympa betydligt. Observera att även om Youngs modul är lägre i marmor än i stål, och att kolonnen också stöder en mycket större kraft, varierar dess längd nästan inte.

Å andra sidan, i repet från det föregående exemplet är variationen mycket mer märkbar, även om stålet har en mycket högre Youngs modul.

Dess stora tvärsnittsarea griper in i kolonnen, och därför är den mycket mindre deformerbar.

Om Thomas Young

1822 porträtt av Thomas Young. Thomas Lawrence / Public domain

Elasticitetsmodulen är uppkallad efter Thomas Young (1773-1829), en mångsidig brittisk forskare som gjorde stora bidrag till vetenskapen på många områden.

Som fysiker studerade Young inte bara ljusets vågkaraktär, avslöjad med det berömda dubbelslits-experimentet, utan han var också en läkare, lingvist och hjälpte till och med att dechiffrera några av de egyptiska hieroglyferna på den berömda Rosettastenen.

Han var medlem i Royal Society, Royal Swedish of Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences eller French Academy of Sciences, bland andra ädla vetenskapliga institutioner.

Det bör emellertid noteras att konceptet med modellen tidigare har utvecklats av Leonhar Euler (1707-1873), och att forskare som Giordano Riccati (1709-1790) redan hade genomfört ett experiment som skulle ha genomfört Youngs modell i praktiken. .

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. Sjätte upplagan. Prentice Hall. 238-249.