ATOMMODELL AV DIRAC JORDAN: EGENSKAPER OCH POSTULATER - FYSISK - 2025

Den Dirac-Jordanien atommodell är den relativistiska generalisering av Hamilton operatören i ekvationen som beskriver kvant vågfunktionen av elektron. Till skillnad från den tidigare modellen, Schrodingers, är det inte nödvändigt att införa snurret med hjälp av Pauli-uteslutningsprincipen, eftersom den förefaller naturligt.

Dessutom innehåller Dirac-Jordan-modellen relativistiska korrigeringar, interaktion mellan spin-orbit och Darwin-termen, som står för den fina strukturen hos atomens elektroniska nivåer.

Figur 1. Elektroniska orbitaler i väteatomen för de tre första energinivåerna. Källa: Wikimedia Commons.

Från och med 1928 försökte forskarna Paul AM Dirac (1902-1984) och Pascual Jordan (1902-1980) att generalisera kvantmekaniken som utvecklats av Schrodinger för att inkludera Einsteins speciella relativitetskorrigeringar.

Dirac startar från Schrodinger-ekvationen, som består av en differentiell operatör, kallad Hamiltonian, som fungerar på en funktion som kallas elektronvågfunktionen. Schrodinger tog dock inte hänsyn till relativistiska effekter.

Vågfunktionens lösningar gör det möjligt för oss att beräkna regionerna där elektronen med en viss sannolikhet kommer att hittas runt kärnan. Dessa regioner eller zoner kallas orbitaler och beror på vissa diskreta kvantantal, som definierar elektronens energi och vinkelmoment.

postulat

I kvantmekaniska teorier, vare sig det är relativistiska eller inte, finns det inget omloppsbegrepp, eftersom varken elektronens position eller hastighet kan specificeras samtidigt. Att specificera en av variablerna leder dessutom till total imprecision hos den andra.

Hamiltonian är för sin del en matematisk operatör som verkar på kvantvågfunktionen och är byggd av elektronens energi. Till exempel har en fri elektron total energi E som beror på dess linjära momentum p så här:

E = ( p ² ) / 2m

För att konstruera Hamiltonianen, vi utgår från detta uttryck och ersätta p för kvant operatör för fart:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Det är viktigt att notera att p- och p- termerna är olika, eftersom den första är momentum och den andra är den differentiella operatören som är associerad med momentum.

Dessutom är i den imaginära enheten och ħ Planck-konstanten dividerad med 2π, på detta sätt erhålls Hamiltonian-operatören H för den fria elektronen:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

För att hitta elektronens hamiltonian, lägg till interaktionen mellan elektron och kärnan:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

I det föregående uttrycket -e är den elektriska laddningen av elektron och Φ (r) den elektrostatiska potential som produceras av den centrala kärnan.

Nu fungerar operatören H på vågfunktionen ψ enligt Schrodinger-ekvationen, som är skriven så här:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracs fyra postulater

Första postulat : den relativistiska vågekvationen har samma struktur som Schrodinger vågekvationen, vad förändras är H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Andra postulatet : den Hamiltonianska operatören är konstruerad utifrån Einsteins energimomentförhållande, som skrivs enligt följande:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

I den föregående relationen, om partikeln har momentum p = 0, så har vi den berömda ekvationen E = mc ² som relaterar energin i vila för en partikel av massan m med ljusets hastighet c.

Tredje postulat : för att erhålla Hamiltonian-operatören används samma kvantiseringsregel som användes i Schrodinger-ekvationen:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

I början var det inte klart hur man skulle hantera denna differentiella operatör som agerar inom en kvadratrot, så Dirac satte sig in för att få en linjär Hamiltonianoperatör på momentumoperatören och därifrån uppstod hans fjärde postulat.

Fjärde postulatet : för att bli av med kvadratroten i den relativistiska energiformeln föreslog Dirac följande struktur för E ² :

Naturligtvis är det nödvändigt att bestämma alfakoefficienterna (α0, α1, α2, α3) för att detta ska vara sant.

Diracs ekvation

I sin kompakta form anses Dirac-ekvationen vara en av de vackraste matematiska ekvationerna i världen:

Bild 2. Dirac-ekvation i kompakt form. Källa: F. Zapata.

Och det är när det blir tydligt att den ständiga alfasen inte kan vara skalmängder. Det enda sättet att jämställdheten mellan det fjärde postulatet uppfylls är att de är konstanta 4 × 4-matriser, som kallas Dirac-matriser:

Vi observerar omedelbart att vågfunktionen upphör att vara en skalfunktion och blir en vektor med fyra komponenter som kallas en spinor:

Dirac-Jordanien-atomen

För att erhålla atommodellen är det nödvändigt att gå från ekvationen för den fria elektronen till den för elektronen i det elektromagnetiska fältet som produceras av atomkärnan. Denna interaktion beaktas genom att den skalära potentialen Φ och vektorpotentialen A införlivas i Hamiltonian:

Vågfunktionen (spinor) som är resultatet av införlivande av denna Hamiltonian har följande egenskaper:

- Uppfyller den relativa relativiteten, eftersom den tar hänsyn till elektronens egen energi (första termen i den relativistiska Hamiltonian)

- Den har fyra lösningar som motsvarar de fyra komponenterna i spinor

- De två första lösningarna motsvarar den ena till spin + ½ och den andra till spin - ½

- Slutligen förutsäger de andra två lösningarna förekomsten av antimateria, eftersom de motsvarar lösningen med positroner med motsatta snurr.

Den stora fördelen med Dirac-ekvationen är att korrigeringarna till den grundläggande Schrodinger Hamiltonian H (o) kan delas upp i flera termer som vi kommer att visa nedan:

I det föregående uttrycket är V den skalära potentialen, eftersom vektorpotentialen A är noll om den centrala protonen antas vara stationär och därför inte visas.

Anledningen till att Dirac-korrigeringarna av Schrodinger-lösningarna i vågfunktionen är subtila. De härrör från det faktum att de sista tre termerna i den korrigerade Hamiltonianen alla är dividerade med hastigheten c i ljuset kvadrat, ett stort antal, vilket gör dessa termer numeriskt små.

Relativistiska korrigeringar av energispektrumet

Med hjälp av Dirac-Jordan-ekvationen hittar vi korrigeringar av energispektrumet för elektronen i väteatomen. Korrigeringar för energi i atomer med mer än en elektron i ungefärlig form återfinns också genom en metod som kallas perturbationsteori.

På liknande sätt tillåter Dirac-modellen oss att hitta den fina strukturkorrigeringen i vätenerginivåerna.

Men ännu mer subtila korrigeringar, såsom den hyperfina strukturen och lammskiftet erhålls från mer avancerade modeller såsom kvantfältteori, som föddes exakt från bidrag från Dirac-modellen.

Följande bild visar hur Diracs relativistiska korrigeringar av energinivåerna ser ut:

Figur 3. Korrigeringar av Dirac-modellen till nivåerna av väteatomen. Källa: Wikimedia Commons.

Till exempel förutsäger lösningarna på Dirac-ekvationen korrekt ett observerat skifte på nivå 2s. Det är den välkända finstrukturkorrigering i Lyman-alpha-linjen i vätespektrumet (se figur 3).

Förresten, den fina strukturen är namnet som ges i atomfysiken till fördubblingen av linjerna i emissionsspektret för atomer, vilket är en direkt följd av elektronisk snurr.

Figur 4. Fin strukturdelning för marktillståndet n = 1 och det första upphetsade tillståndet n = 2 i väteatomen. Källa: R Wirnata. Relativistiska korrigeringar av vätliknande atomer. Researchgate.net

Artiklar av intresse

De Broglie atommodell.

Chadwicks atommodell.

Heisenberg atommodell.

Perrins atommodell.

Thomsons atommodell.

Daltons atommodell.

Schrödingers atomodell.

Atomisk modell av Democritus.

Bohrs atomodell.

referenser

1. Atomteori. Återställs från wikipedia.org.
2. Elektroniskt magnetiskt ögonblick. Återställs från wikipedia.org.
3. Quanta: En handbok med koncept. (1974). Oxford University Press. Återställs från Wikipedia.org.
4. Dirac Jordan atommodell. Återställs från prezi.com.
5. Det nya kvanteuniverset. Cambridge University Press. Återställs från Wikipedia.org.