TRÖGHETSMOMENT: FORMLER, EKVATIONER OCH BERÄKNINGSEXEMPEL - FYSISK - 2025

Det tröghetsmoment av en stel kropp med avseende på en viss rotationsaxel representerar dess motstånd mot att ändra dess vinkelhastighet runt nämnda axel. Det är proportionellt mot massan och även till placeringen av rotationsaxeln, eftersom kroppen, beroende på dess geometri, lättare kan rotera runt vissa axlar än i andra.

Anta ett stort föremål (bestående av många partiklar) som kan rotera runt en axel. Anta att en kraft F verkar , applicerad tangentiellt på masselementet Δm _i , vilket ger ett vridmoment eller ögonblick, givet av τ _net = ∑ r _i x F _i . Vektorn r _i är positionen för Am _i (se figur 2).

Figur 1. Tröghetsmoment för olika figurer. Källa: Wikimedia Commons.

Detta ögonblick är vinkelrätt mot rotationsplanet (riktning + k = lämnar papperet). Eftersom kraften och den radiella positionsvektorn alltid är vinkelräta förblir tvärprodukten:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

Figur 2. En partikel som tillhör ett styvt fast ämne i rotation. Källa: Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Cengage Learning.

Accelerationen a _i representerar accelerationens tangentiella komponent, eftersom den radiella accelerationen inte bidrar till vridmomentet. Som en funktion av vinkelaccelerationen α kan vi indikera att:

Därför ser nätmomentet ut så här:

τ _net = ∑ Δm _i (a r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Vinkelaccelerationen α är densamma för hela objektet, därför påverkas den inte av subskriptet "i" och kan lämna summeringen, vilket är exakt tröghetsmomentet för objektet symboliserat med bokstaven I:

Detta är tröghetsmomentet för en diskret massfördelning. När fördelningen är kontinuerlig ersätts summeringen med en integral och becomesm blir en massdifferens dm. Integralen utförs över hela objektet:

Enheterna för tröghetsmomentet i SI International System är kg xm ² . Det är en skalär och positiv mängd, eftersom det är produkten av en massa och kvadratet på avståndet.

Beräkningsexempel

Ett utökat objekt, såsom en stapel, en skiva, en sfär eller annat, vars densitet ρ är konstant och att veta att densiteten är massvolymförhållandet, skrivs massdifferensen dm som:

Att ersätta integralen för tröghetsmomentet har vi:

Detta är ett allmänt uttryck, giltigt för ett tredimensionellt objekt, vars volym V och position r är funktioner för de rumsliga koordinaterna x, y och z. Observera att densiteten är konstant utanför integralen.

Densiteten ρ är också känd som bulkdensitet, men om föremålet är mycket platt, som ett ark eller mycket tunt och smalt som en stång, kan andra former av densitet användas, låt oss se:

- För ett mycket tunt ark är densiteten att använda σ, ytdensiteten (massa per enhetsarea) och dA är ​​areadifferensen.

- Och om det är en tunn stång, där endast längden är relevant, används den linjära massatätheten λ och en längdskillnad, enligt axeln som används som referens.

I exemplen som följer anses alla objekt vara styva (inte deformerbara) och har enhetlig densitet.

Tröghetsmoment av en tunn stång med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

Här kommer vi att beräkna tröghetsmomentet för en tunn, styv, homogen bar, med längd L och massa M, med avseende på en axel som passerar genom mediet.

Först är det nödvändigt att upprätta ett koordinatsystem och bygga en siffra med lämplig geometri, så här:

Figur 3. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en tunn stång med avseende på en vertikal axel som passerar genom dess centrum. Källa: F. Zapata.

X-axeln längs stången och y-axeln valdes som rotationsaxel. Förfarandet för att etablera integralen kräver också att man väljer en massdifferens på stången, kallad dm, som har en differentiell längd dx och är belägen i det godtyckliga läget x, med avseende på mitten x = 0.

Enligt definitionen av linjär massatäthet λ:

Eftersom tätheten är enhetlig, vilket är giltigt för M och L, gäller den också för dm och dx:

Å andra sidan är masselementet i position x, så genom att ersätta denna geometri i definitionen har vi en bestämd integral, vars gränser är ändarna på stången enligt koordinatsystemet:

Att ersätta den linjära densiteten = M / L:

För att hitta tröghetsmomentet i stången med avseende på en annan rotationsaxel, till exempel en som passerar genom en av dess ändar, kan du använda Steiner's teorem (se övning löst i slutet) eller utföra en direkt beräkning liknande den som visas här, men ändra geometrien på lämpligt sätt.

Tröghetsmoment för en skiva med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

En mycket tunn skiva med försumbar tjocklek är en platt siffra. Om massan är jämnt fördelad över hela ytan i område A är massatätheten σ:

Både dm och dA motsvarar massan och området för den differentiella ringen som visas i figuren. Vi antar att hela aggregatet roterar runt y-axeln.

Du kan föreställa dig att disken är sammansatt av många koncentriska ringar med radie r, var och en med respektive tröghetsmoment. Lägga till bidrag från alla ringar tills vi når radien R, vi kommer att ha det totala tröghetsmomentet på disken.

Figur 4. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en skiva, med avseende på den axiella axeln. Källa: F. Zapata.

Där M representerar hela massan på disken. Området på en disk beror på dess radie r som:

Avleda med avseende på r:

Att ersätta ovanstående i definitionen av I:

Att ersätta σ = M / (π.R ² ) får vi:

Tröghetsmoment för en fast sfär ungefär en diameter

En sfär med radie R kan betraktas som en serie skivor staplade ena ovanpå varandra, där varje skiva med infinitesimal massa dm, radie r och tjocklek dz, har ett tröghetsmoment som ges av:

För att hitta denna skillnad tog vi helt enkelt formeln från föregående sektion och ersatte M respektive R för dm respektive r. En sådan skiva kan ses i geometri i figur 5.

Figur 5. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en fast sfär med radie R med avseende på en axel som passerar genom en diameter. Källa: F. Zapata.

Genom att lägga till alla de oändliga tröghetsmomenten för staplade skivor erhålls sfärens totala tröghetsmoment:

Vilket motsvarar:

För att lösa integralen måste du uttrycka dm på lämpligt sätt. Som alltid uppnås genom tätheten:

Volymen på en differentiell disk är:

Skivans höjd är tjockleken dz, medan basens yta är πr ² , därför:

Och i stället för den föreslagna integralen skulle det se ut så här:

Men innan vi integreras måste vi observera att r - skivans radie - beror på z och R - sfärens radie - som framgår av figur 5. Användning av Pythagorean:

Som leder oss till:

För att integrera över hela sfären noterar vi att z varierar mellan –R och R, därför:

Att veta att ρ = M / V = ​​M / äntligen erhålls, efter förenkling:

Tröghetsmoment för en solid cylinder med avseende på den axiella axeln

För detta objekt används en metod som liknar den som användes för sfären, bara den här gången är det lättare om cylindern kan föreställas vara sammansatt av cylindriska skal med radie r, tjocklek dr och höjd H, som om de var en lökskikt. .

Figur 6. Geometri för att beräkna tröghetsmomentet för en solid cylinder med radie R med avseende på den axiella axeln. Källa: Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Cengage.

Volymen dV för ett cylindriskt lager är:

Därför är skalmassan:

Detta uttryck ersätts i definitionen av tröghetsmoment:

Ovanstående ekvation indikerar att cylinderns tröghetsmoment inte beror på dess längd, utan endast på dess massa och radie. Om L skulle förändras skulle tröghetsmomentet kring den axiella axeln förbli detsamma. Av denna anledning sammanfaller I i cylindern med den för den tidigare beräknade tunnskivan.

Tröghetsmoment för ett rektangulärt ark med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

Den horisontella y-axeln har valts som rotationsaxel. Figuren nedan visar den geometri som krävs för att utföra integrationen:

Figur 7. Geometri för beräkning av tröghetsmomentet för en rektangulär platta med avseende på en parallell axel med arket och passerar genom dess centrum. Källa: F. Zapata.

Areaelementet markerat med rött är rektangulärt. Dess yta är bas x höjd, därför:

Därför är massdifferensen:

När det gäller avståndet från areaelementet till rotationsaxeln är det alltid z. Vi ersätter allt detta i integreringen av tröghetsmomentet:

Nu ersätts ytmassatätheten σ med:

Och det ser definitivt ut så här:

Observera att det är som den tunna stången.

Tröghetsmoment av ett fyrkantigt ark med avseende på en axel som passerar genom dess centrum

För en kvadrat med sidan L, i det tidigare uttrycket som är giltigt för en rektangel, ska du helt enkelt ersätta värdet på b för det för L:

Moment of Inertia Theorems

Det finns två särskilt användbara teorem för att förenkla beräkningen av tröghetsmoment med avseende på andra axlar, som annars kan vara svåra att hitta på grund av bristen på symmetri. Dessa satser är:

Steiner's teorem

Det kallas även parallella axlarnas teorem, och det berör tröghetsmomentet med avseende på en axel med en annan som passerar genom objektets masscentrum, så länge axlarna är parallella. För att applicera det är det nödvändigt att känna till avståndet D mellan båda axlarna och naturligtvis massan M på objektet.

Låt jag _{z vara} tröghetsmomentet för ett objekt utsträckt med avseende på z-axeln, jag _CM tröghetsmomentet med avseende på en axel som passerar genom masscentrum (CM) för nämnda objekt, då är det tillfredsställande att:

Eller i noteringen av följande figur: I _{z '} = I _z + Md ²

Bild 8. Steiner's teorem eller parallella axlar. Källa: Wikimedia Commons. Jack Se

Stående vinkelrätt axel

Denna sats appliceras på plana ytor och går så här: tröghetsmomentet för ett planobjekt runt en axel vinkelrätt mot det är summan av tröghetsmomenten runt två axlar vinkelrätt mot den första axeln:

Bild 9. Stående vinkelrätt axel. Källa: F. Zapata.

Om objektet har symmetri så att I _x och I _y är lika, är det sant att:

Träningen löst

Hitta tröghetsmomentet för stången med avseende på en axel som passerar genom en av dess ändar, som visas i figur 1 (nedan och till höger) och figur 10.

Bild 10. Tröghetsmoment av en homogen stång runt en axel som passerar genom ena änden. Källa: F. Zapata.

Lösning:

Vi har redan tröghetsmomentet för stången runt en axel som passerar genom dess geometriska centrum. Eftersom baren är homogen är dess masscentrum vid den punkten, så det kommer att vara vår I _CM att tillämpa Steiners teorem.

Om stångens längd är L är z-axeln på ett avstånd D = L / 2, därför:

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Parallell axelsats. Återställdes från: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Cengage.
5. Sevilla universitet. Sfäriska fasta tröghetsmoment. Återställd från: laplace.us.es.
6. Sevilla universitet. Tröghetsmoment för ett partikelsystem. Återställd från: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Parallellaxels teorem. Återställd från: en.wikipedia.org