PENDELRÖRELSE: ENKEL PENDEL, ENKEL HARMONISK - FYSISK - 2025

En pendel är ett objekt (helst en punktmassa) hängd av en tråd (helst utan massa) från en fast punkt och som oscillerar tack vare tyngdkraften, den mystiska osynliga kraften som bland annat håller universumet limmat.

Den pendulära rörelsen är den som förekommer i ett föremål från en sida till en annan, hängande från en fiber, kabel eller tråd. De krafter som ingriper i denna rörelse är kombinationen av tyngdkraften (vertikal, mot jordens centrum) och trådens spänning (trådens riktning).

Pendel oscillerande, visar hastighet och acceleration (wikipedia.org)

Detta är vad pendelklockor (därav namnet) eller lekplatssvängningar gör. I en ideal pendel skulle oscillerande rörelse fortsätta för evigt. I en riktig pendel, å andra sidan, slutar rörelsen att stoppa efter tiden på grund av friktion med luften.

Att tänka på en pendel gör det oundvikligt att framkalla bilden av pendelklockan, minnet om den gamla och imponerande klockan från morföräldrarnas hus på landet. Eller kanske Edgar Allan Poes skräckhistoria, brunnen och pendeln, vars berättelse är inspirerad av en av de många tortyrmetoder som används av den spanska inkvisitionen.

Sanningen är att de olika typerna av pendlar har olika tillämpningar utöver mätningstid, som till exempel bestämning av tyngdkraften på ett visst ställe och till och med demonstrerar jordens rotation som den franska fysikern Jean Bernard Léon gjorde. Foucault.

Foucault pendel. Författare: Veit Froer (wikipedia.org).

Den enkla pendeln och den enkla harmoniska vibrationsrörelsen

Enkel pendel

Den enkla pendeln, även om det är ett idealiskt system, gör det möjligt att genomföra en teoretisk inställning till rörelsen av en pendel.

Även om ekvationerna för rörelsen hos en enkel pendel kan vara något komplexa, är sanningen att när amplituden (A), eller förskjutningen från jämviktspositionen, av rörelsen är liten, kan den approximeras med ekvationerna för en harmonisk rörelse enkla som inte är alltför komplicerade.

Enkel harmonisk rörelse

Den enkla harmoniska rörelsen är en periodisk rörelse, det vill säga den upprepas i tid. Vidare är det en oscillerande rörelse vars svängning sker runt en jämviktspunkt, det vill säga en punkt där nettoresultatet av summan av krafter som appliceras på kroppen är noll.

Således är ett grundläggande kännetecken för pendelens rörelse dess period (T), som bestämmer tiden det tar att göra en fullständig cykel (eller fullständig svängning). Perioden för en pendel bestäms av följande uttryck:

där, l = pendulens längd; och, g = värdet på accelerationen på grund av tyngdkraften.

En kvantitet relaterad till perioden är frekvensen (f), som bestämmer antalet cykler pendeln går igenom på en sekund. På detta sätt kan frekvensen bestämmas från perioden med följande uttryck:

Pendelrörelsedynamik

De krafter som ingriper i rörelsen är vikten eller vad som är densamma, tyngdkraften (P) och tråden (T). Kombinationen av dessa två krafter är det som orsakar rörelsen.

Medan spänningen alltid riktas i riktning mot tråden eller repet som förenar massan med den fasta punkten, och därför är det inte nödvändigt att sönderdela den; vikten riktas alltid vertikalt mot massans centrum av jorden, och därför är det nödvändigt att sönderdela den till dess tangentiella och normala eller radiella komponenter.

Den tangentiella komponenten av vikten P _t = mg synd θ, medan den normala komponenten av vikt är P _N = mg cos θ. Denna sekund kompenseras med trådens spänning; Den tangentiella komponenten i vikten, som fungerar som en återställande kraft, är därför slutligen ansvarig för rörelsen.

Förskjutning, hastighet och acceleration

Förskjutningen av en enkel harmonisk rörelse, och därför av pendeln, bestäms av följande ekvation:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

där ω = är rotationsvinkelns hastighet; t = är tiden; och θ ₀ = är den initiala fasen.

På detta sätt tillåter denna ekvation oss att bestämma pendelpositionen när som helst. I detta avseende är det intressant att lyfta fram några förhållanden mellan några av storleken på enkel harmonisk rörelse.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

Å andra sidan erhålls formeln som styr pendelens hastighet som en funktion av tiden genom att härleda förskjutningen som en funktion av tiden, så här:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀ )

På samma sätt erhålls uttrycket för accelerationen med avseende på tid:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀ )

Maximal hastighet och acceleration

Genom att observera både uttrycket för hastigheten och accelerationen kan man uppskatta några intressanta aspekter av pendelens rörelse.

Hastigheten tar sitt maximala värde i jämviktsläget, vid vilken tidpunkt accelerationen är noll, eftersom, som tidigare nämnts, vid detta ögonblick nettokraften är noll.

Tvärtom, vid ytterpunkten av förskjutningen sker det motsatta, där tar accelerationen det maximala värdet och hastigheten tar ett nollvärde.

Från ekvationerna för hastighet och acceleration är det lätt att härleda både modulen för maximal hastighet och den maximala accelerationen. Det räcker med att ta det maximala möjliga värdet för både synden (ω t + θ ₀ ) och för cos (ω t + θ ₀ ), som i båda fallen är 1.

│ v _max │ = A ω

│ a _max │ = A ω ²

Det ögonblick då pendeln når sin maximala hastighet är när den passerar genom jämviktspunkten för krafter sedan dess (ω t + θ ₀ ) = 1. Tvärtom, den maximala accelerationen uppnås i båda ändarna av rörelsen sedan cos (ω t + θ ₀ ) = 1

slutsats

En pendel är ett enkelt objekt att designa och uppenbarligen med en enkel rörelse, även om sanningen är att innerst inne är den mycket mer komplex än den verkar.

När den initiala amplituden är liten kan emellertid dess rörelse förklaras med ekvationer som inte är alltför komplicerade, eftersom den kan approximeras med ekvationerna av enkel harmonisk vibrationsrörelse.

De olika typerna av pendlar som finns har olika tillämpningar både för vardagen och inom det vetenskapliga området.

referenser

1. Van Baak, Tom (november 2013). "En ny och underbar pendelperiodekvation". Horological Science Nyhetsbrev. 2013 (5): 22–30.
2. Pendel. (Nd). På Wikipedia. Hämtad den 7 mars 2018 från en.wikipedia.org.
3. Pendel (matematik). (Nd). På Wikipedia. Hämtad den 7 mars 2018 från en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826). Historien om inkvisitionen av Spanien. Förkortat och översatt av George B. Whittaker. Oxford universitet. pp. XX, förord.
5. Poe, Edgar Allan (1842). The Pit and the Pendulum. Booklassic. ISBN 9635271905.