ENDIMENSIONELLA VÅGOR: MATEMATISKT UTTRYCK OCH EXEMPEL - FYSISK - 2025

Endimensionella vågor är de som sprider sig i en enda riktning, oavsett om vibrationen inträffar i samma utbredningsriktning eller inte. Ett bra exempel på dessa är vågen som reser genom en stram sträng som en gitarr.

I en tvärgående plan våg vibrerar partiklarna i vertikal riktning (de stiger och faller, se den röda pilen i figur 1), men det är endimensionellt eftersom störningen bara rör sig i en riktning efter den gula pilen.

Bild 1: Bilden representerar en endimensionell våg. Observera att åsarna och dalarna bildar linjer parallella med varandra och vinkelräta mot utbredningsriktningen. Källa: självgjord.

Endimensionella vågor förekommer ganska ofta i vardagen. I följande avsnitt beskrivs några exempel på dem och även vågor som inte är endimensionella för att tydligt fastställa skillnaderna.

Exempel på endimensionella vågor och icke-dimensionella vågor

Endimensionella vågor

Här är några exempel på endimensionella vågor som lätt kan observeras:

- En ljudpuls som rör sig genom en rak bar, eftersom det är en störning som sprider sig längs barens längd.

- En våg som rör sig genom en vattenkanal, även när vattenytans förskjutning inte är parallell med kanalen.

- Vågor som sprider sig på en yta eller genom tredimensionellt rymd kan också vara en-dimensionella, så länge deras vågfronter är plan parallella med varandra och rör sig i en enda riktning.

Icke-dimensionella vågor

Ett exempel på en icke-en-dimensionell våg återfinns i vågor som bildas på en stille vattenyta när en sten tappas. Det är en tvådimensionell våg med en cylindrisk vågfront.

Bild 2. Bilden representerar ett exempel på vad en endimensionell våg INTE är. Observera att kammarna och dalarna bildar cirklar och utbredningsriktningen är radiell utåt, det är då en cirkulär tvådimensionell våg. Källa: Pixabay.

Ett annat exempel på en icke-en-dimensionell våg är ljudvågen som en smällare genererar genom att explodera i en viss höjd. Detta är en tredimensionell våg med sfäriska vågfronter.

Matematiskt uttryck för en endimensionell våg

Det mest allmänna sättet att uttrycka en endimensionell våg som sprider sig utan dämpning i den positiva riktningen för xy-axeln med hastighet v är, matematiskt:

I detta uttryck representerar y störningen vid position x vid tidpunkten t. Vågens form ges av funktionen f. Till exempel är vågfunktionen som visas i figur 1: y (x, t) = cos (x - vt) och vågbilden motsvarar ögonblicket t = 0.

En våg som denna, beskrivs av en kosinus- eller sinusfunktion, kallas en harmonisk våg. Även om det inte är den enda vågform som finns, är den av största vikt, eftersom varje annan våg kan representeras som en superposition eller summa av harmoniska vågor. Det är den välkända Fourier-teoremet, så allmänt använt för att beskriva signaler av alla slag.

När vågen rör sig i den negativa riktningen för x-axeln, ändra helt enkelt v till -v i argumentet och lämna:

Figur 3 visar animationen av en våg som reser till vänster: det är en form som kallas den lorentiska funktionen och dess matematiska uttryck är:

I det här exemplet är utbredningshastigheten v = 1, en rymdenhet för varje tidsenhet-.

Figur 3. Exempel på en Lorentzian våg som kör till vänster med hastighet v = 1. Källa: Utarbetad av F. Zapata med Geogebra.

Endimensionell vågekvation

Vågekvationen är en partiell derivatekvation, vars lösning naturligtvis är en våg. Det fastställer det matematiska förhållandet mellan den rumsliga delen och den temporära delen av den och har formen:

Arbetat exempel

Följande är det allmänna uttrycket y (x, t) för en harmonisk våg:

a) Beskriv den fysiska betydelsen av parametrarna A, k, ω och θo.

b) Vilken betydelse har ± -tecknen i kosinusargumentet?

c) Kontrollera att det givna uttrycket verkligen är lösningen på vågekvationen i föregående sektion och hitta hastigheten v för utbredning.

Lösning till)

Vågens egenskaper finns i följande parametrar:

Andra derivat med avseende på t: ∂ ² och / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Dessa resultat är substituerade i vågekvationen:

Både A och kosinus är förenklade, eftersom de förekommer på båda sidor om jämlikheten och kosinusens argument är detsamma, därför minskar uttrycket till:

Vilket gör det möjligt att få en ekvation för v i termer av ω och k:

referenser

1. E-pedagogiska. Ekvation av endimensionella harmoniska vågor. Återställd från: e-ducativa.catedu.es
2. Fysikens hörn. Vågklasser. Återställd från: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Waves and Quantum Physics. Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Redigerad av Douglas Figueroa. Simon Bolivar universitet. Caracas Venezuela.
4. Fysiklaboratorium Vågrörelse. Återställd från: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Föreläsning 21: Den endimensionella vågekvationen: D'Alemberts lösning. Återställd från: ubc.ca.
6. Vågekvation. Återställd från: en.wikipedia.com