ARCHIMEDES PRINCIP: FORMEL, BEVIS, APPLIKATIONER - FYSISK - 2025

De Archimedes ' princip anges att en kropp nedsänkt helt eller delvis, av en uppåtriktad kraft som kallas dragkraft, vilket är ekvivalent med vikten av den vätskevolym som förskjuts av kroppen.

Vissa föremål flyter i vatten, andra sjunker och andra delvis i vatten. För att sjunka en strandboll är det nödvändigt att göra en ansträngning, för omedelbart uppfattas den kraften som försöker återföra den till ytan. Istället sjunker en metallsfär snabbt.

Bild 1. Flytande ballonger: Archimedes princip i aktion. Källa: Pixabay.

Å andra sidan verkar nedsänkta föremål lättare, därför finns det en kraft som utövas av vätskan som motsätter vikten. Men det kan inte alltid kompensera för allvar. Och även om det är tydligare med vatten kan gaser också producera denna kraft på föremål nedsänkta i dem.

Historia

Archimedes of Syracuse (287-212 f.Kr.) var den som måste ha upptäckt denna princip och var en av de största forskarna i historien. De säger att kung Hiero II av Syracuse beordrade en gullsmed att göra en ny krona för honom, för vilken han gav honom en viss mängd guld.

Archimedes

När kungen fick den nya kronan var det rätt vikt, men han misstänkte att guldsmeden hade lurat honom genom att lägga till silver istället för guld. Hur kunde han bevisa det utan att förstöra kronan?

Hiero kallade Archimedes, vars rykte som forskare var välkänt, för att hjälpa honom att lösa problemet. Legenden säger att Archimedes var nedsänkt i badkaret när han hittade svaret och, sådan var hans känslor, att han sprang naken genom gatorna i Syracuse för att söka efter kungen och ropade "eureka", vilket betyder "Jag hittade honom".

Vad hittade Archimedes? Tja, när man badade steg vattennivån i badkaret när han gick in, vilket innebär att en nedsänkt kropp förskjuter en viss vätskevolym.

Och om han sänkte ned kronen i vatten, måste detta också förskjuta en viss volym vatten om kronan var gjord av guld och en annan om den var gjord av legering med silver.

Formel

Den lyftkraft som hänvisas till av Archimedes princip är känd som den hydrostatiska drivkraften eller den flytande kraften och, som vi har sagt, motsvarar den vikten av den vätskevolym som förflyttas av kroppen när den är nedsänkt.

Den förskjutna volymen är lika med volymen för objektet som är nedsänkt, antingen helt eller delvis. Eftersom vikten på någonting är mg, och vätskans massa är densitet x volym, vilket betecknar storleken på drivkraften som B, har vi matematiskt:

B = m _vätska xg = vätskedensitet x nedsänkt volym x tyngdkraft

B = ρ _vätska x V _nedsänkt xg

Där den grekiska bokstaven ρ ("rho") anger densitet.

Tydlig vikt

Objektets vikt beräknas med hjälp av det välkända mg-uttrycket, men saker känner sig lättare när de är nedsänkta i vatten.

Den synliga vikten av ett föremål är vad den har när den nedsänks i vatten eller annan vätska och veta det, kan volymen av ett oregelbundet föremål såsom kronen av King Hiero erhållas, vilket kommer att ses nedan.

För att göra detta är den helt nedsänkt i vatten och fäst vid en sträng fäst vid en dynamometer - ett instrument utrustat med en fjäder som används för att mäta krafter. Ju större föremålets vikt, desto större fjäderförlängning, som mäts på en skala som anordnas i apparaten.

Bild 2. Tydlig vikt för ett nedsänkt föremål. Källa: utarbetad av F. Zapata.

Tillämpa Newtons andra lag medvetet om att objektet är i vila:

ΣF _y = B + T - W = 0

Den skenbara vikten W _en lika spänningen i strängen T:

Eftersom drivkraften kompenserar för vikten, eftersom fluidpartiet är i vila, då:

Av detta uttryck följer att drivkraften beror på tryckskillnaden mellan cylinderns övre yta och den undre ytan. Eftersom W = mg = ρ vätska. V. g, det måste:

Vilket är exakt uttrycket för drivkraften som nämns i föregående avsnitt.

tillämpningar

Archimedes princip förekommer i många praktiska tillämpningar, bland vilka vi kan namnge:

- Den aerostatiska ballongen. Som på grund av sin genomsnittliga densitet mindre än den omgivande luften flyter i den på grund av tryckkraften.

- Fartygen. Skibsskrovet är tyngre än vatten. Men om hela skrovet plus luften inifrån beaktas, är förhållandet mellan den totala massan och volymen mindre än för vattnet och det är anledningen till att fartyg flyter.

- Livvästar. De är konstruerade av lätta och porösa material och kan flyta eftersom massvolymförhållandet är lägre än för vatten.

- Flytaren för att stänga påfyllningskranen i en vattentank. Det är en luftfylld sfär med stor volym som flyter ovanpå vattnet, vilket gör att tryckkraften - multiplicerad med spakeffekten - stänger locket på påfyllningskranen i en vattentank när den har nått nivån. total.

exempel

Exempel 1

Legenden säger att kung Hiero gav guldsmeden en viss mängd guld för att göra en krona, men den misstro monarken trodde att guldsmeden kan ha fuskat genom att placera en metall mindre värdefull än guld inuti kronan. Men hur kunde han veta utan att förstöra kronan?

Kungen anförde problemet till Archimedes och detta sökte lösningen upptäckte hans berömda princip.

Anta att koronaen väger 2,10 kg-f i luft och 1,95 kg-f när den är helt nedsänkt i vatten. I det här fallet, finns det eller finns det inget bedrag?

Bild 5. Diagram med fri kropp av King Herons krona. Källa: utarbetad av F. Zapata

Diagrammet över krafterna visas i figuren ovan. Dessa krafter är: vikten P på kronan, dragkraften E och spänningen T på repet som hänger från skalan.

Det är känt P = 2,10 kg-f och T = 1,95 kg-f, det återstår att bestämma storleken på drivkraften E :

Å andra sidan, enligt Archimedes princip är ekvivalenten E ekvivalent med vikten på det vatten som förskjuts från det utrymme som kronen upptar, det vill säga vattentätheten gånger kronans volym på grund av tyngdens acceleration:

Från var kronans volym kan beräknas:

Kronans täthet är kvoten mellan kronans massa ur vattnet och dess volym:

Densiteten för rent guld kan bestämmas genom en liknande procedur och resultatet är 19300 kg / m ^ 3.

Jämförs de två tätheterna är det uppenbart att kronan inte är rent guld!

Exempel 2

Baserat på uppgifterna och resultatet från exempel 1 är det möjligt att bestämma hur mycket guld som stulits av guldsmeden i det fall att en del av guldet har ersatts av silver, som har en densitet på 10 500 kg / m ^ 3.

Vi kommer att kalla tätheten för kronan ρc, ρo densiteten för guld och ρ _p densiteten för silver.

Kronans totala massa är:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Kronans totala volym är volymen silver plus volymen guld:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Att ersätta ekvationen för massan är:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

Det vill säga volymen av guld-Vo som innehåller kronan för total volym V är:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) = …

… = 0,00015 m ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m ^ 3

För att hitta vikten i guld som kronan innehåller multiplicerar vi Vo med guldens densitet:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Eftersom kronans massa är 2,10 kg vet vi att 0,94858 kg guld stults av guldsmeden och ersattes av silver.

Lösta övningar

Övning 1

En enorm heliumballong kan hålla en person i balans (utan att gå upp eller ner).

Antag att personens vikt, plus korgen, repen och ballongen är 70 kg. Vilken volym helium krävs för att detta ska uppstå? Hur stor ska ballongen vara?

Lösning

Vi antar att drivkraften framställs huvudsakligen av heliumvolymen och att drivkraften hos resten av komponenterna är mycket liten jämfört med heliumvolymen som upptar mycket mer volym.

I detta fall kommer den att kräva en volym helium som kan ge ett tryck på 70 kg + heliumvikten.

Figur 6. Frikroppsdiagram över den heliumfyllda ballongen. Källa: utarbetad av F. Zapata.

Tryck är produkten av heliumvolymen gånger heliumens densitet och tyngdkraften. Denna tryck måste kompensera heliumens vikt plus vikten hos alla övriga.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

varifrån man drar slutsatsen att V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m ^ 3 = 65,4 m ^ 3

Det vill säga 65,4 m ^ 3 helium krävs vid atmosfärstryck för att det ska finnas lyft.

Om vi ​​antar en sfärisk jordklot kan vi hitta dess radie från förhållandet mellan volymen och en sfärs radie:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Där R = 2,49 m. Med andra ord kommer det att krävas en ballong med 5 m diameter fylld med helium.

Övning 2

Material med en lägre densitet än vatten flyter i det. Anta att du har polystyren (vit kork), trä och isbitar. Deras täthet i kg per kubikmeter är respektive: 20, 450 och 915.

Ta reda på vilken bråkdel av den totala volymen som ligger utanför vattnet och hur hög den står ovanför vattens yta, med 1000 kilo per kubikmeter som densiteten för det senare.

Lösning

Uppdrivning uppstår när kroppens vikt är lika med drivkraften på grund av vattnet:

E = Mg

Figur 7. Frikroppsdiagram över ett delvis nedsänkt objekt. Källa: utarbetad av F. Zapata.

Vikt är densiteten för kroppen Dc multiplicerad med dess volym V och med accelerationen av tyngdkraften g.

Stycket är vikten av den förskjutna vätskan enligt Archimedes princip och beräknas genom att multiplicera vattentätheten D för vattnet med den nedsänkta volymen V 'och med tyngdkraften.

Det är:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Vilket innebär att den nedsänkta volymfraktionen är lika med kvoten mellan kroppens densitet och vattentätheten.

Det vill säga den utestående volymfraktionen (V '' / V) är

Om h är överhängshöjden och L på kubens sida kan volymfraktionen skrivas som

Så resultaten för de beställda materialen är:

Polystyren (vit kork):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% ur vattnet

Trä:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% ur vattnet

Is:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% ur vattnet

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Grunder och tillämpningar. Första upplagan. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 4. Vätskor och termodynamik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mekanik för vätskor och hydraulik. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fysik: begrepp och tillämpningar. 7: e upplagan. McGraw Hill.