POLYTROPISK PROCESS: EGENSKAPER, TILLÄMPNINGAR OCH EXEMPEL - FYSISK - 2025

En polytropisk process är en termodynamisk process som uppstår när förhållandet mellan tryck P och volym V som ges av PV ⁿ hålls konstant. Exponenten n är ett verkligt tal, vanligtvis mellan noll och oändlighet, men i vissa fall kan det vara negativt.

Värdet på n kallas polytropyindex och det är viktigt att notera att under en polytropisk termodynamisk process måste nämnda index bibehålla ett fast värde, annars kommer processen inte att betraktas som polytropisk.

Figur 1. Karakteristisk ekvation av en polytropisk termodynamisk process. Källa: F. Zapata.

Egenskaper hos polytropiska processer

Några karakteristiska fall av polytropiska processer är:

- Den isotermiska processen (vid konstant temperatur T), där exponenten är n = 1.

- En isobarisk process (vid konstant tryck P), i detta fall n = 0.

- Den isochoriska processen (vid konstant volym V), för vilken n = + ∞.

- Adiabatiska processer (vid konstant S-entropi), där exponenten är n = y, där y är den adiabatiska konstanten. Denna konstant är kvoten mellan värmekapaciteten vid konstant tryck Cp dividerat med värmekapaciteten vid konstant volym Cv:

y = Cp / Cv

- Alla andra termodynamiska processer som inte är ett av de tidigare fallen. men det möter PV ⁿ = ctte med ett verkligt och konstant polytropiskt index n kommer också att vara en polytropisk process.

Figur 2. Olika karakteristiska fall av polytropiska termodynamiska processer. Källa: Wikimedia Commons.

tillämpningar

En av de huvudsakliga tillämpningarna av den polytropiska ekvationen är att beräkna arbetet som utförs av ett slutet termodynamiskt system, när det passerar från ett initialt tillstånd till ett slutligt tillstånd på ett kvasistatisk sätt, det vill säga efter en följd av jämviktstillstånd.

Arbeta med polytropiska processer för olika värden på n

För n ≠ 1

Det mekaniska arbetet W som utförs av ett slutet termodynamiskt system beräknas med uttrycket:

W = ∫P.dV

Där P är tryck och V är volym.

Som i fallet med en polytropisk process är förhållandet mellan tryck och volym:

Vi har det mekaniska arbetet som utförs under en polytropisk process, som börjar i ett initialt tillstånd 1 och slutar i det slutliga tillståndet. Allt detta visas i följande uttryck:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Genom att ersätta konstantens värde i arbetsuttrycket får vi:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

I det fall att arbetssubstansen kan modelleras som en idealisk gas har vi följande tillståndslikning:

PV = mRT

Där m är antalet mol den ideala gasen och R är den universella gaskonstanten.

För en ideal gas som följer en polytrop process med en polytropy index som skiljer sig från enhet och som passerar från ett tillstånd med utgångstemperaturen T ₁ till ett annat tillstånd med temperaturen T ₂ , det arbete ges av följande formel:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

För n → ∞

Enligt formeln för det arbete som erhållits i föregående avsnitt, har vi att arbetet med en polytropisk process med n = ∞ är noll, eftersom uttrycket av verket är uppdelat med oändlighet och därför tenderar resultatet att noll .

Ett annat sätt att nå fram till detta resultat är att starta från relationen P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , som kan skrivas om enligt följande:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Om vi ​​tar den nionde roten i varje medlem får vi:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

Om n → ∞ har vi (V ₂ / V1) = 1, vilket betyder att:

V ₂ = V ₁

Det vill säga volymen förändras inte i en polytropisk process med n → ∞. Därför är volymdifferensen dV i integralen av mekaniskt arbete 0. Denna typ av polytropiska processer är också kända som isokoriska processer eller processer med konstant volym.

För n = 1

Återigen har vi uttrycket uttrycket för arbete:

W = ∫P dV

När det gäller en polytropisk process med n = 1 är förhållandet mellan tryck och volym:

PV = konstant = C

Genom att lösa P från föregående uttryck och ersätta, har vi gjort arbetet för att gå från initialtillstånd 1 till sluttillstånd 2:

Det vill säga:

W = C In (V ₂ / V ₁ ).

Eftersom de initiala och slutliga tillstånden är väl bestämda, så kommer ctte att göra. Det vill säga:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Slutligen har vi följande användbara uttryck för att hitta det mekaniska arbetet i ett slutet polytropiskt system där n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Om arbetsämnet består av mol mol ideal gas, kan den ideala gasekvationen för tillstånd appliceras: PV = mRT

I detta fall har vi , eftersom PV ₁ = ctte, att en polytropisk process med n = 1 är en process vid konstant temperatur T (isotermisk), så att följande uttryck för arbetet kan erhållas:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Figur 3. En smältande istapp, exempel på en isotermisk process. Källa: Pixabay.

Exempel på polytropiska processer

- Exempel 1

Anta att en cylinder med en rörlig kolv fylld med ett kilo luft. Initialt luften upptar en volym V ₁ = 0,2 m ³ vid ett tryck P ₁ = 400 kPa. En polytrop förfarande följs med n = γ = 1,4, vars slutliga tillstånd har trycket P ₂ = 100 kPa. Bestäm arbetet med luften på kolven.

Lösning

När polytropyindexet är lika med den adiabatiska konstanten, finns det en process där arbetsämnet (luften) inte utbyter värme med miljön, och därför förändras inte heller entropin.

För luft, en diatomisk idealgas, har vi:

y = Cp / Cv, med Cp = (7/2) R och Cv = (5/2) R

Så:

y = 7/5 = 1,4

Med användning av uttrycket för den polytropiska processen kan den slutliga volymen av luften bestämmas:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Nu har vi villkoren för att tillämpa formeln för arbete som utförts i en polytropisk process för n ≠ 1 som erhållits ovan:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Att ersätta lämpliga värden vi har:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Exempel 2

Antag samma cylinder från exempel 1 med en rörlig kolv fylld med ett kilo luft. Ursprungligen upptar luften en volym V1 = 0,2 m ³ vid ett tryck P1 = 400 kPa. Men till skillnad från föregående fall expanderar luften isotermiskt för att nå ett sluttryck P2 = 100 kPa. Bestäm arbetet med luften på kolven.

Lösning

Som vi tidigare sett är isotermiska processer polytropiska processer med index n = 1, så det är sant att:

P1 V1 = P2 V2

På detta sätt kan den slutliga volymen enkelt lossas för att erhålla:

V2 = 0,8 m ³

Sedan använder vi arbetsuttrycket som erhållits tidigare för fallet n = 1, att det arbete som utförts av luften på kolven i denna process är:

W = Pl V1 1 (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamik. 7: e upplagan. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 4. Vätskor och termodynamik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Termodynamikens första lag. Återställd från: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Fysik för forskare och teknik: en strategi-strategi. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9: e ed. Cengage Learning.
7. Sevilla universitet. Termiska maskiner. Återställd från: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropisk process. Återställd från: wikiwand.com.