VAD ÄR PRANDTL-NUMRET? (VÄRDEN I GASER OCH VÄTSKOR) - FYSISK - 2025

Den Prandtl numret , förkortat Pr, är en dimensionslös kvantitet som relaterar diffusiviteten av fart, genom den kinematiska viskositeten ν (grekisk bokstav som läses ”nu”) av en vätska, med dess termiska diffusivitet α i form av kvoten:

Bild 1. Den tyska ingenjören Ludwig Prandtl i sitt Hannover-laboratorium 1904. Källa: Wikimedia Commons.

Beträffande fluidviskositetskoefficienten eller dynamisk viskositet μ, den specifika värmen hos fluiden _Cp och dess koefficient för värmeledningsförmåga K, uttrycks också Prandtl-talet matematiskt på följande sätt:

Denna kvantitet har fått namnet på den tyska forskaren Ludwig Prandtl (1875–1953), som gjorde stora bidrag till fluidmekanik. Prandtl-talet är ett av de viktiga siffrorna för att modellera vätskeströmmen och särskilt hur värme överförs i dem genom konvektion.

Av den angivna definitionen följer att Prandtl-talet är ett kännetecken för vätskan, eftersom det beror på dess egenskaper. Genom detta värde kan fluidens förmåga att överföra fart och värme jämföras.

Naturlig och tvingad konvektion i vätskor

Värme överförs genom ett medium genom olika mekanismer: konvektion, ledning och strålning. När det finns rörelse på den makroskopiska nivån av vätskan, det vill säga det finns massiv rörelse av vätskan, överförs värmen snabbt i den genom konvektionsmekanismen.

Å andra sidan, när den övervägande mekanismen är ledning, sker fluidens rörelse på mikroskopisk nivå, antingen atomisk eller molekylär, beroende på typen av vätska, men alltid långsammare än genom konvektion.

Hastigheten på vätskan och flödesregimen som den har - laminär eller turbulent - påverkar också detta, eftersom ju snabbare den rör sig, desto snabbare är värmeöverföringen också.

Konvektion inträffar naturligt när vätska rör sig på grund av en temperaturskillnad, till exempel när en massa av varm luft stiger och en annan av kall luft sjunker. I detta fall talar vi om naturlig konvektion.

Men konvektion kan också tvingas med hjälp av en fläkt för att tvinga luften att strömma, eller en pump för att sätta vattnet i rörelse.

När det gäller vätskan kan den cirkulera genom ett stängt rör (slutet fluid), ett öppet rör (såsom en kanal till exempel) eller en öppen yta.

I alla dessa situationer kan Prandtl-numret användas för att modellera värmeöverföring, tillsammans med andra viktiga nummer inom fluidmekanik, såsom Reynolds-nummer, Mach-nummer, Grashoff-nummer, antal Nusselt, rörets grovhet eller grovhet med mera.

Viktiga definitioner vid värmeöverföring i en vätska

Förutom vätskans egenskaper ingriper också ytans geometri vid transport av värme, liksom typen av flöde: laminär eller turbulent. Eftersom Prandtl-talet innehåller många definitioner, här är en kort sammanfattning av de viktigaste:

Dynamisk viskositet

Det är den naturliga motståndskraften hos en vätska mot flöde på grund av olika interaktioner mellan dess molekyler. Det betecknas μ och dess enheter i det internationella systemet (SI) är Ns / m ² (newton x sekund / kvadratmeter) eller Pa.s (pascal x second), kallad poise. Det är mycket högre i vätskor än i gaser och beror på vätskans temperatur.

Kinematisk viskositet

Det benämns ν (grekisk bokstav som läses "nu") och definieras som förhållandet mellan den dynamiska viskositeten μ och densiteten ρ för en vätska:

Dess enheter är m ² / s.

Värmeledningsförmåga

Det definieras som materialens förmåga att leda värme genom dem. Det är en positiv mängd och dess enheter är Wm / K (watt x meter / kelvin).

Specifik värme

Mängd värme som måste tillsättas till 1 kg ämne för att höja temperaturen med 1 ºC.

Termisk diffusivitet

Är definierad som:

Enheterna för termisk diffusivitet är desamma som för kinematisk viskositet: m ² / s.

Matematisk beskrivning av värmeöverföring

Det finns en matematisk ekvation som modellerar överföring av värme genom vätskan med tanke på att dess egenskaper såsom viskositet, densitet och andra förblir konstant:

T är temperaturen, en funktion av tiden t och av positionsvektorn r , medan a är den ovannämnda termiska diffusiviteten och Δ är den Laplacian operatören. I kartesiska koordinater ser det ut så här:

råhet

Grovhet och ojämnheter på ytan genom vilken vätskan cirkulerar, till exempel på den inre ytan på röret där vattnet cirkulerar.

Laminariskt flöde

Det hänvisar till en vätska som flyter i lager på ett smidigt och ordnat sätt. Skikten blandas inte in och vätskan rör sig längs så kallade strömlinjer.

Bild 2. Rökkolonnen har en laminär regim i början, men då visas volutiner som indikerar en turbulent regim. Källa: Pixabay.

Turbulent flöde

I detta fall rör sig vätskan på ett oroligt sätt och dess partiklar bildar virvel.

Prandtl-talvärden i gaser och vätskor

I gaser ges storleksordningen för både kinematisk viskositet och termisk diffusivitet av produkten av partikelns medelhastighet och den genomsnittliga fria vägen. Det senare är värdet på det genomsnittliga avståndet som en gasmolekyl har kört mellan två kollisioner.

Båda värdena är mycket lika, därför är antalet Prandtl Pr nära 1. Till exempel för luft Pr = 0.7. Detta innebär att både fart och värme överförs ungefär lika snabbt i gaser.

I flytande metaller är Pr dock mindre än 1, eftersom fria elektroner leder värme mycket bättre än fart. I detta fall är v mindre än a och Pr <1. Ett bra exempel är flytande natrium, som används som kylvätska i kärnreaktorer.

Vatten är en mindre effektiv värmeledare med Pr = 7 såväl som viskösa oljor, vars Prandtl-nummer är mycket högre, och kan nå 100 000 för tunga oljor, vilket innebär att värme överförs i dem med mycket långsam, jämfört med fart.

Tabell 1. Storleksordning för Prandtl-talet för olika vätskor

Vätska	v (m 2 / s)	a (m 2 / s)	Pr
Jordmantel	10 17	10 -6	10 23
Inre lager av solen	10 -2	10 2	10 -4
Jordens atmosfär	10 -5	10 -5	ett
Hav	10 -6	10 -7	10

Exempel

De termiska diffusiviteterna för vatten och luft vid 20 ºC är respektive 0,00142 respektive 0,208 cm ² / s. Hitta Prandtl-siffrorna för vatten och luft.

Lösning

Definitionen som ges i början gäller eftersom uttalandet ger värdena på α:

Och när det gäller värdena på v, kan de hittas i en tabell över vätskoregenskaper, ja, vi måste vara försiktiga med att v är i samma enheter av α och att de är giltiga vid 20 ºC:

ν _luft = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0,151 cm ² / s; v _vatten = 1,02 x ^10-6 m ² / s = 0,0102 cm ² / s

Således:

Pr (luft) = 0,151 / 0,208 = 0,726; Pr (vatten) = 0,0102 / 0,00142 = 7,18

referenser

1. Organisk kemi. Ämne 3: konvektion. Återställs från: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. Lösa problem med vätskemekanik. Schaum-serien. McGraw Hill.
3. Shaugnessy, E. 2005. Introduktion till Fluid Mechanics. Oxford University Press.
4. Thorne, K. 2017. Modern klassisk fysik. Princeton och Oxford University Press.
5. UNET. Transportfenomen. Återställd från: unet.edu.ve.
6. Wikipedia. Prandtl-nummer. Återställd från: en.wikipedia.org.
7. Wikipedia. Värmeledningsförmåga. Återställd från: en.wikipedia.org.
8. Wikipedia. Viskositet. Återställd från: es.wikipedia.org.