STEINERS TEOREM: FÖRKLARING, TILLÄMPNINGAR, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den Steiner 's theorem , även känd som parallellaxelteoremet, att bedöma tröghetsmoment av en utsträckt kropp, kring en axel som är parallell med en annan som passerar genom centrum av massan av objektet.

Det upptäcktes av den schweiziska matematikern Jakob Steiner (1796 - 1863) och säger följande: låt I _{CM vara} objektets tröghetsmoment med avseende på en axel som passerar genom dess masscentrum och I _z tröghetsmomentet med avseende på en annan axel parallellt med detta.

Figur 1. En rektangulär dörr som roterar på sina gångjärn har ett tröghetsmoment som kan beräknas genom att använda Steiner's teorem. Källa: Pixabay.

Genom att känna till avståndet D som skiljer båda axlarna och massan M i kroppen i fråga, är tröghetsmomentet med avseende på den okända axeln:

Tröghetsmoment indikerar hur lätt det är för ett objekt att rotera runt en viss axel. Det beror inte bara på kroppens massa, utan också på hur den fördelas. Av denna anledning är det också känt som roterande tröghet, som är dess enheter i det internationella systemet Kg. m ² .

Satsen visar att tröghetsmomentet I _z alltid är större än tröghetsmomentet I _CM med en mängd som ges av MD ² .

tillämpningar

Eftersom ett föremål kan rotera runt flera axlar, och i tabellerna vanligtvis bara ges tröghetsmomentet med avseende på axeln som passerar genom centroiden, underlättar Steiner's teorem beräkningen när det är nödvändigt att rotera kroppar på axlar som inte matchar detta.

Till exempel roterar en dörr vanligtvis inte runt en axel genom dess masscentrum, utan om en sidoaxel, där gångjärnen fästs.

Genom att känna till tröghetsmomentet är det möjligt att beräkna den kinetiska energin som är associerad med rotationen kring nämnda axel. Om K är den kinetiska energin, jag tröghetsmomentet runt den aktuella axeln och ω vinkelhastigheten följer det att:

Denna ekvation är mycket lik den mycket välkända formeln för kinetisk energi för ett objekt med massan M som rör sig med hastigheten v: K = ½ Mv ² . Och det är att ögonblicket av tröghet eller roterande träghet jag spelar samma roll i rotationen som massan M i översättningen.

Bevis på Steiners teorem

Tröghetsmomentet för ett utökat objekt definieras som:

I = ∫ r ² dm

När dm är en infinitesimal del av massan och r är avståndet mellan dm och rotationsaxeln z. I figur 2 korsar denna axel massans centrum CM, men den kan vara vilken som helst.

Figur 2. Ett objekt som är utdraget i rotation runt två parallella axlar. Källa: F. Zapata.

Runt en annan z-axel är tröghetsmomentet:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Enligt triangeln som bildas av vektorerna D , r och r ' (se figur 2 till höger) finns det en vektorsumma:

r + r ' = D → r' = D - r

De tre vektorerna ligger på objektets plan, vilket kan vara xy. Ursprunget för koordinatsystemet (0,0) väljs i CM för att underlätta beräkningarna som följer.

På detta sätt är den kvadrerade modulen för vektorn r ' :

Nu är denna utveckling ersatt i integralen av tröghetsmomentet I _z och även definitionen av densitet dm = ρ.dV används:

Termen M. D ² som förekommer i Steiner's teorem kommer från den första integralen, den andra är tröghetsmomentet med avseende på axeln som passerar genom CM.

För sin del är den tredje och den fjärde integralen värd 0, eftersom de per definition utgör CM: s position, som har valts som koordinatsystemets ursprung (0,0).

Lösta övningar

-Löst övning 1

Den rektangulära dörren i figur 1 har en vikt på 23 kg, 1,30 bred och 2,10 m hög. Bestäm momentets tröghetsmoment med avseende på axeln som passerar genom gångjärnen, förutsatt att dörren är tunn och enhetlig.

Figur 3. Schema för arbetat exempel 1. Källa: modifierad från Pixabay.

Lösning

Från en tabell med tröghetsmoment, för en rektangulär platta med massan M och dimensioner a och b, är tröghetsmomentet med avseende på axeln som passerar genom dess masscentrum: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

En homogen grind antas (en approximation, eftersom grinden i figuren förmodligen inte är så). I ett sådant fall passerar massmitten genom dess geometriska centrum. I figur 3 har en axel som passerar genom massmitten dragits och är också parallell med axeln som passerar genom gångjärnen.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 kg.m ²

Tillämpa Steiners teorem för den gröna rotationsaxeln:

I = I _CM + MD ² = 11,7 kg.m ² + 23 kg x 0,662 m ² = 21,4 kg.

-Löst övning 2

Hitta tröghetsmomentet för en homogen tunn stång när den roterar runt en axel som passerar genom en av dess ändar, se figur. Är det större eller mindre än tröghetsmomentet när det roterar runt dess centrum? Varför?

Bild 4. Schema för det lösta exemplet 2. Källa: F. Zapata.

Lösning

Enligt tabellen över tröghetsmoment är tröghetsmomentet I _CM hos en tunn stav med massa M och längd L: I _CM = (1/12) ML ²

Och Steiner's teorem säger att när det roteras runt en axel som passerar genom ena änden D = L / 2 kvarstår:

Den är större, även om inte bara två gånger, men fyra gånger mer, eftersom den andra halvan av stången (inte skuggad i figuren) roterar och beskriver en större radie.

Påverkan av avståndet till rotationsaxeln är inte linjär utan kvadratisk. En massa som är två gånger avståndet som en annan kommer att ha ett tröghetsmoment som är proportionellt mot (2D) ² = 4D ² .

referenser

1. Bauer, W. 2011. Fysik för teknik och vetenskap. Volym 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Georgia State University. Rotationsrörelse. Återställd från: phys.nthu.edu.tw.
3. Parallell axelsats. Återställdes från: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Parallellaxels teorem. Återställd från: en.wikipedia.org