SNED PARABOLSKOT: EGENSKAPER, FORMLER, EKVATIONER, EXEMPEL - FYSISK - 2025

Det snedställda parabolskottet är ett speciellt fall av rörelsen med fritt fall där projektilens initiala hastighet bildar en vinkel med horisontalen, vilket ger ett paraboliskt förlopp.

Fritt fall är ett fall av rörelse med konstant acceleration, där accelerationen är tyngdkraften, som alltid pekar vertikalt nedåt och har en storlek på 9,8 m / s ^ 2. Det beror inte på projektilens massa, som Galileo Galilei visade 1604.

Bild 1. Sned parabolskott. (Egen utarbetande)

Om projektilens initiala hastighet är vertikal, har det fria fallet en rak och vertikal bana, men om den ursprungliga hastigheten är sned så är banan med fritt fall en parabolisk kurva, ett faktum också visat av Galileo.

Exempel på parabolisk rörelse är banan, en kula som skjutits från en kanon och vattenströmmen som kommer ut ur en slang.

Figur 1 visar ett snett parabolskott på 10 m / s med en vinkel på 60º. Skalan är i meter och de på varandra följande positionerna för P tas med en skillnad på 0,1 s från det initiala ögonblicket 0 sekunder.

formler

Rörelsen för en partikel beskrivs fullständigt om dess position, hastighet och acceleration är känd som en funktion av tiden.

Den paraboliska rörelsen som härrör från ett snett skott är superpositionen av en horisontell rörelse med konstant hastighet, plus en vertikal rörelse med konstant acceleration lika med tyngdkraften.

Formlerna som gäller för det sneda paraboliska draget är de som motsvarar en rörelse med konstant acceleration a = g. Observera att fet har använts för att indikera att accelerationen är en vektorkvantitet.

Position och hastighet

I en rörelse med konstant acceleration beror positionen matematiskt på tiden i kvadratisk form.

Om vi ​​anger r (t) positionen vid tidpunkten t, r eller positionen vid det initiala ögonblicket, v eller den initiala hastigheten, g accelerationen och t = 0 som det initiala ögonblicket, är formeln som ger positionen för varje tidpunkt t:

r (t) = r _o + v _o t + ½ g t ²

Den djärva ytan i ovanstående uttryck indikerar att det är en vektorekvation.

Hastigheten som en funktion av tiden erhålls genom att ta derivatet med avseende på t för positionen och resultatet är:

v (t) = v _o + g t

Och för att erhålla accelerationen som en funktion av tiden, tas derivatet av hastigheten med avseende på t, vilket resulterar i:

När tiden inte är tillgänglig finns det ett samband mellan hastighet och position, vilket ges av:

v ² = vo ² - 2 g (y-i)

ekvationer

Nästa kommer vi att hitta ekvationerna som gäller för ett snett parabolskott i kartesisk form.

Bild 2. Variabler och parametrar för det sneda paraboliska utkastet. (Egen utarbetande)

Rörelsen börjar i ögonblicket t = 0 med startpositionen (xo, I) och storlekshastigheten va vinkel θ, det vill säga den initiala hastighetsvektorn är (vo cosθ, vo sinθ). Rörelsen fortsätter med acceleration

g = (0, -g).

Parametriska ekvationer

Om vektorformeln som ger positionen som en funktion av tiden tillämpas och komponenter grupperas och utjämnas, kommer ekvationerna som ger koordinaterna för positionen vid varje ögonblick av tiden t att erhållas.

x (t) = x _o + v _{eller x} t

y (t) = y _o + v _oy t -½ gt ²

På liknande sätt har vi ekvationerna för hastighetskomponenterna som en funktion av tiden.

v _x (t) = v _ox

v _y (t) = v _oy - gt

Var: v eller _x = vo cosθ; v _oy = vo sinθ

Ekvation av vägen

y = A x ^ 2 + B x + C

A = -g / (2 v eller x ^ 2)

B = (v oy / v ox + gxo / v ox ^ 2)

C = (i - v oy xo / v ox)

exempel

Svara på följande frågor:

a) Varför försummas effekten av friktion med luft vanligtvis i paraboliska dragproblem?

b) Spelar objektets form i det paraboliska skottet?

svar

a) För att en projektils förflyttning ska vara parabolisk är det viktigt att friktionskraften i luften är mycket mindre än vikten av föremålet som kastas.

Om en boll av kork eller något lätt material kastas är friktionskraften jämförbar med vikten och dess bana kan inte närma sig en parabola.

Tvärtom, om det är ett tungt föremål som en sten, är friktionskraften försumbar jämfört med stenens vikt och dess bana närmar sig en parabola.

b) Formen på det kastade objektet är också relevant. Om ett pappersark kastas i form av ett flygplan kommer dess rörelse inte att vara fritt fall eller paraboliskt, eftersom formen gynnar luftmotståndet.

Å andra sidan, om samma pappersark komprimeras till en boll, är den resulterande rörelsen mycket lik en parabola.

Exempel 2

En projektil lanseras från den horisontella marken med en hastighet på 10 m / s och en vinkel på 60º. Det här är samma data som figur 1 förbereddes för. Med dessa data, hitta:

a) ögonblick då den når maximal höjd.

b) Maximal höjd.

c) Hastigheten i maximal höjd.

d) Position och hastighet vid 1,6 s.

e) Det ögonblick som det träffar marken igen.

f) Horisontell räckvidd.

Lösning till)

Den vertikala hastigheten som funktion av tiden är

v _y (t) = v _oy - gt = v _o sinθ - gt = 10 sin60º - 9,8 t = 8,66 - 9,8 t

För närvarande den maximala höjden uppnås är den vertikala hastigheten noll ett ögonblick.

8,66 - 9,8 t = 0 ⇒ t = 0,88 s.

Lösning b)

Den maximala höjden ges av y-koordinaten för det ögonblick då den höjden uppnås:

y (0,88s) = I + go t -½ g ^ 2 = 0 + 8,66 * 0,88-½ 9,8 0,88 ^ 2 =

3,83 m

Därför är den maximala höjden 3,83 m.

Lösning c)

Hastigheten vid maximal höjd är horisontell:

v _x (t) = v eller _x = v _eller cosθ = 10 cos60º = 5 m / s

Lösning d)

Läget vid 1,6 s är:

x (1,6) = 5 * 1,6 = 8,0 m

y (1,6) = 8,66 * 1,6-½ 9,8 1,6 2 = 1,31 m

Lösning e)

När y-koordinaten berör marken:

y (t) = 8,66 * t-½ 9,8 t2 = 0 ⇒ t = 1,77 s

Lösning f)

Den horisontella räckvidden är x-koordinaten precis i det ögonblick som den rör vid marken:

x (1,77) = 5 * 1,77 = 8,85 m

Exempel 3

Hitta ekvationen för sökvägen med data från exempel 2.

Lösning

Den parametriska ekvationen för vägen är:

y (t) = 8,66 * t-½ 9,8 t ^ 2

Och den kartesiska ekvationen erhålls genom att lösa t från den första och ersätta i den andra

y = 8,66 * (x / 5) -½ 9,8 (x / 5) ^ 2

Förenkling:

y = 1,73 x - 0,20 x ^ 2

referenser

1. PP Teodorescu (2007). Kinematik. Mekaniska system, klassiska modeller: Partikelmekanik. Springer.
2. Resnick, Halliday & Krane (2002). Fysik Volym 1. Cecsa, Mexiko.
3. Thomas Wallace Wright (1896). Element av mekanik inklusive kinematik, kinetik och statik. E och FN Spon.
4. Wikipedia. Parabolisk rörelse. Återställs från es.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Projektilrörelse Återställd från en.wikipedia.org.