KONTINUERLIG VARIABEL: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den kontinuerliga variabeln är en som kan ta ett oändligt antal numeriska värden mellan två givna värden, även om dessa två värden är godtyckligt nära. De används för att beskriva mätbara attribut; till exempel höjd och vikt. Värdena som en kontinuerlig variabel tar kan vara rationella tal, verkliga siffror eller komplexa siffror, även om det senare fallet är mindre ofta i statistiken.

Huvudkarakteristiken för kontinuerliga variabler är att mellan två rationella eller verkliga värden alltid kan hittas ett annat, och mellan det andra och det första kan ett annat värde hittas, och så vidare på obestämd tid.

Figur 1. Kurvan representerar en kontinuerlig fördelning och staplarna en diskret. Källa: pixabay

Anta till exempel att den variabla vikten i en grupp där den tyngsta väger 95 kg och den lägsta väger 48 kg; det skulle vara variabelns intervall och antalet möjliga värden är oändligt.

Till exempel mellan 50,00 kg och 50,10 kg kan vara 50,01. Men mellan 50,00 och 50,01 kan vara måtten 50,005. Det är en kontinuerlig variabel. Å andra sidan, om man i de möjliga viktmätningarna kunde fastställa en precision med en enda decimal skulle den variabla som används vara diskret.

Kontinuerliga variabler tillhör kategorin kvantitativa variabler, eftersom de har ett numeriskt värde associerat med dem. Med detta numeriska värde är det möjligt att utföra matematiska operationer som sträcker sig från aritmetiska till oändliga beräkningsmetoder.

exempel

De flesta av fysikens variabler är kontinuerliga variabler, bland dem kan vi namnge: längd, tid, hastighet, acceleration, energi, temperatur och andra.

Kontinuerliga variabler och diskreta variabler

I statistik kan olika typer av variabler definieras, både kvalitativa och kvantitativa. Kontinuerliga variabler tillhör den senare kategorin. Med dem är det möjligt att utföra aritmetik- och beräkningsoperationer.

Till exempel är variabeln h, motsvarande personer med en höjd mellan 1,50 m och 1,95 m, en kontinuerlig variabel.

Låt oss jämföra denna variabel med den här: antalet gånger en myntkast kastas upp, vilket vi kommer att kalla n.

Variabeln n kan ta värden mellan 0 och oändlighet, men n är inte en kontinuerlig variabel eftersom den inte kan ta värdet 1,3 eller 1,5, eftersom mellan värden 1 och 2 finns det ingen annan. Detta är ett exempel på en diskret variabel.

Kontinuerliga variabler träning

Tänk på följande exempel: en maskin producerar tändstickor och packar dem i rutan. Två statistiska variabler definieras:

Den nominella matchlängden är 5,0 cm med en tolerans på 0,1 cm. Antalet matcher per ruta är 50 med en tolerans på 3.

a) Ange värdet som L och N kan ta.

b) Hur många värden kan L ta?

c) Hur många värden kan inte ta?

Ange i varje fall om det är en diskret eller kontinuerlig variabel.

Lösning

Värdena på L är i intervallet; det vill säga värdet på L är i intervallet och variabeln L kan ta oändliga värden mellan dessa två mätningar. Det är då en kontinuerlig variabel.

Värdet på variabeln är i intervallet. Variabeln n kan endast ta 6 möjliga värden i toleransintervallet, det är då en diskret variabel.

Träning av

Om värdena som tas ut av variabeln, förutom att vara kontinuerliga, har en viss sannolikhet för förekomst som är associerad med dem, är det en kontinuerlig slumpvariabel. Det är mycket viktigt att skilja om variabeln är diskret eller kontinuerlig, eftersom de sannolikhetsmodeller som är tillämpliga på det ena och det andra är olika.

En kontinuerlig slumpmässig variabel definieras fullständigt när värdena som den kan anta, och sannolikheten för att var och en av dem har hända, är kända.

-Övning 1 av sannolikheter

Matchmakaren gör dem på ett sådant sätt att pinnarnas längd alltid är mellan värden 4,9 cm och 5,1 cm och noll utanför dessa värden. Det finns en sannolikhet för att få en pinne som mäter mellan 5,00 och 5,05 cm, även om vi också skulle kunna extrahera en av 5 0003 cm. Är dessa värden lika troliga?

Lösning

Anta att sannolikhetsdensiteten är enhetlig. Nedan följer sannolikheterna för att hitta en match med en viss längd:

-Tat en matchning är inom intervallet har sannolikhet = 1 (eller 100%), eftersom maskinen inte drar matchningar utanför dessa värden.

-Findande av en matchning mellan 4,9 och 5,0 har sannolikhet = ½ = 0,5 (50%), eftersom det är halva längdintervallet.

-Och sannolikheten att matchen har längd mellan 5,0 och 5,1 är också 0,5 (50%)

-Det är känt att det inte finns några tändstickor som har en längd mellan 5,0 och 5,2. Sannolikhet: noll (0%).

Sannolikhet för att hitta en tandpetare i ett visst intervall

Låt oss nu observera följande sannolikheter P för att få fram pinnar vars längd är mellan l ₁ och l ₂ :

-P att en matchning har en längd mellan 5,00 och 5,05 betecknas som P ():

-P att kullen har längd mellan 5.00 och 5.01 är:

-P att kullen har en längd mellan 5 000 och 5 001 är ännu mindre:

Om vi ​​fortsätter att minska intervallet för att komma närmare och närmare 5.00 är sannolikheten för att en tandpetare är exakt 5,00 cm noll (0%). Det vi har är sannolikheten att hitta en match inom ett visst intervall.

Sannolikhet för att hitta flera tandpetare inom ett visst intervall

Om händelserna är oberoende är sannolikheten för att två tandpetare är inom ett visst intervall produkten av deras sannolikheter.

-Sannolikheten för att två pinnar är mellan 5,0 och 5,1 är 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-Sannolikheten för att 50 tandpetare är mellan 5,0 och 5,1 är (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, det vill säga nästan noll.

-Sannolikheten för att 50 tandpetare är mellan 4,9 och 5,1 är (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Övning 2 av sannolikheter

I det föregående exemplet gjordes antagandet att sannolikheten är enhetlig i det givna intervallet, men detta är inte alltid fallet.

När det gäller den faktiska maskinen som producerar tandpetarna är chansen att tandpetaren är i mittvärdet större än den är vid ett av de extrema värdena. Från en matematisk synvinkel modelleras detta med en funktion f (x) känd som sannolikhetsdensiteten.

Sannolikheten för att mätningen L är mellan a och b beräknas med den bestämda integralen av funktionen f (x) mellan a och b.

Anta som exempel att vi vill hitta funktionen f (x), som representerar en enhetlig fördelning mellan värden 4.9 och 5.1 från övning 1.

Om sannolikhetsfördelningen är enhetlig är f (x) lika med konstanten c, som bestäms genom att ta integralen mellan 4,9 och 5,1 av c. Eftersom denna integral är sannolikheten måste resultatet vara 1.

Figur 2. Enhetlig sannolikhetstäthet. (Egen utarbetande)

Vilket innebär att c är värd 1 / 0,2 = 5. Det vill säga den enhetliga sannolikhetsdensitetsfunktionen är f (x) = {5 om 4,9 ≤ 5,1 och 0 utanför detta område. En enhetlig sannolikhetsdensitetsfunktion visas i figur 2.

Notera hur i intervaller med samma bredd (till exempel 0,02) är sannolikheten densamma i mitten som i slutet av området för den kontinuerliga variabeln L (tandpetare längd).

En mer realistisk modell skulle vara en sannolikhetsdensitetsfunktion som följande:

Figur 3. Icke-enhetlig sannolikhetsdensitetsfunktion. (Egen utarbetande)

I figur 3 kan man se hur sannolikheten för att hitta tandpetare mellan 4,99 och 5,01 (bredd 0,02) är större än för att hitta tandpetare mellan 4,90 och 4,92 (bredd 0,02)

referenser

1. Dinov, Ivo. Diskreta slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelningar. Hämtad från: stat.ucla.edu
2. Diskreta och kontinuerliga slumpmässiga variabler. Hämtad från: ocw.mit.edu
3. Diskreta slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelningar. Hämtad från: hemsida.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Introduktion till sannolikhet. Återställd från: sannolikhetskurs.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistik för ledning och ekonomi. Grupo Redaktion Iberoamericana. 103-106.
6. Slumpmässiga variabler Problem och sannolikhetsmodeller. Återställd från: ugr.es.
7. Wikipedia. Kontinuerlig variabel. Återställs från wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistikvariabel. Återställs från wikipedia.com.