DIREKTÖRVEKTOR: LINJENS EKVATION, LÖSTA ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

En regissvektor förstås vara en som definierar riktningen för en linje, antingen i planet eller i rymden. Därför kan en vektor parallellt med linjen betraktas som en riktningsvektor för den.

Detta är möjligt tack vare ett axiom av euklidisk geometri som säger att två punkter definierar en linje. Då definierar det orienterade segmentet som bildas av dessa två punkter också en regissvektor för nämnda linje.

Figur 1. Direktörsvektor för en linje. (Egen utarbetande)

Med tanke på en punkt P som hör till linjen (L) och ges en regissvektor u för den linjen, är linjen helt bestämd.

Ekvation av linjen och regissörvektorn

Bild 2. Ekvation av linjen och regissörvektorn. (Egen utarbetande)

Givet en punkt P av koordinaterna P: (Xo, I) och en vektor u- regissör för en linje (L), måste varje punkt Q i koordinaterna Q: (X, Y) tillfredsställa att vektorn PQ är parallell med u. Detta sista villkor garanteras om PQ är proportionell mot u :

PQ = t⋅ u

i ovanstående uttryck är t en parameter som tillhör de verkliga siffrorna.

Om de kartesiska komponenterna i PQ och u skrivs, skrivs ovanstående ekvation enligt följande:

(X-Xo, Y-Yo) = t (a, b)

Om komponenterna i vektorn är jämställda, erhålls följande par ekvationer:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrisk ekvation av linjen

X- och Y-koordinaterna för en punkt som tillhör linjen (L) som passerar genom en koordinatpunkt (Xo, Yo) och är parallell med regissvektorn u = (a, b) bestäms genom att tilldela verkliga värden till variabelparametern t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Exempel 1

För att illustrera innebörden av den parametriska ekvationen av linjen, tar vi som riktningsvektorn

u = (a, b) = (2, -1)

och som en känd punkt på linjen punkten

P = (Xo, I) = (1, 5).

Den parametriska ekvationen för linjen är:

{X = 1 + 2't; Y = 5 - 1⋅t; -∞

För att illustrera innebörden av denna ekvation visas figur 3, där parametern t ändrar dess värde och punkten Q för koordinater (X, Y) tar olika positioner på linjen.

Figur 3. PQ = t u. (Egen utarbetande)

Linjen i vektorform

Med tanke på en punkt P på linjen och dess regissvektor u kan linjens ekvation skrivas i vektorform:

OQ = OP + λ⋅ u

I ovanstående ekvation är Q någon punkt men tillhör linjen och λ är ett reellt tal.

Vektorekvationen för linjen är tillämplig på valfritt antal dimensioner, till och med en hyperlinje kan definieras.

I det tredimensionella fallet för en regissörvektor u = (a, b, c) och en punkt P = (Xo, Yo, Zo) är koordinaterna för en generisk punkt Q = (X, Y, Z) som tillhör linjen :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + X (a, b, c)

Exempel 2

Överväg igen den linje som har som en riktningsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

och som en känd punkt på linjen punkten

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorekvationen för nämnda linje är:

(X, Y) = (1, 5) + X (2, -1)

Kontinuerlig form av linjen och regissörvektorn

Från och med den parametriska formen, rensa och jämställa parametern λ, har vi:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Detta är den symmetriska formen för linjens ekvation. Observera att a, b och c är komponenterna i regissörvektorn.

Exempel 3

Betrakta den linje som har som en riktningsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

och som en känd punkt på linjen punkten

P = (Xo, I) = (1, 5). Hitta sin symmetriska form.

Den symmetriska eller kontinuerliga formen av linjen är:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Allmän form för linjens ekvation

Den allmänna formen för linjen i XY-planet är känd som ekvationen som har följande struktur:

A⋅X + B⋅Y = C

Uttrycket för den symmetriska formen kan skrivas om så att den har den allmänna formen:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

jämföra med den allmänna formen på linjen är det:

A = b, B = -a och C = b⋅Xo - a⋅Yo

Exempel 3

Hitta den allmänna formen för linjen vars regissvektor är u = (2, -1)

och som passerar genom punkten P = (1, 5).

För att hitta den allmänna formen kan vi använda de givna formlerna, men en alternativ sökväg kommer att väljas.

Vi börjar med att hitta den dubbla vektorn w för regissörvektorn u, definierad som vektorn erhållen genom att byta ut komponenterna i u och multiplicera den andra med -1:

w = (-1, -2)

den dubbla vektorn w motsvarar en 90 ° medurs rotation av regissörvektorn v .

Vi multiplicerar skala w med (X, Y) och med (Xo, Yo) och sätter lika:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2,5 = -11

kvar äntligen:

X + 2Y = 11

Standardform för linjens ekvation

Det är känt som standardformen för linjen i XY-planet, en som har följande struktur:

Y = m⋅X + d

där m representerar lutningen och d skärningen med Y-axeln.

Med tanke på riktningsvektorn u = (a, b) är lutningen m b / a.

Yd erhålls genom att X och Y ersätter den kända punkten Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Kort sagt, m = b / a och d = I - (b / a) Xo

Observera att lutningen m är kvoten mellan y-komponenten i regissörvektorn och x-komponenten för den.

Exempel 4

Hitta standardformen för linjen vars regissvektor är u = (2, -1)

och som passerar genom punkten P = (1, 5).

m = -½ och d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Lösta övningar

-Övning 1

Hitta en regissvektor för linjen (L) som är skärningspunkten mellan planet (Π): X - Y + Z = 3 och planet (Ω): 2X + Y = 1.

Skriv sedan den kontinuerliga formen för ekvationen på linjen (L).

Lösning

Från ekvationen för planet (Ω) frigång Y: Y = 1 -2X

Sedan ersätter vi i ekvationen för planet (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Sedan parametrerar vi X, vi väljer parametreringen X = λ

Detta betyder att linjen har en vektorekvation som ges av:

(X, Y, Z) = (X, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

som kan skrivas om som:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + X (1, ​​-2, -3)

med vilket det är tydligt att vektorn u = (1, -2, -3) är en riktningsvektor för linjen (L).

Den kontinuerliga formen av linjen (L) är:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Övning 2

Med tanke på planet 5X + a Y + 4Z = 5

och linjen vars ekvation är X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Bestäm värdet på ett sådant att planet och linjen är parallella.

Lösning 2

Vektorn n = (5, a, 4) är en vektor som är normal för planet.

Vektoren u = (1, 3, -2) är en riktningsvektor på linjen.

Om linjen är parallell med planet, är n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Linjär algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plan analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktion Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Återställs från: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Grundläggande begrepp för geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.