- Hur får man den normala vektorn till ett plan?
- Den normala vektorn från vektorprodukten
- Exempel
- Lösning
- Beräkning av vektorprodukten
- Ekvation av planet
- referenser
Den normala vektorn är en som definierar riktningen vinkelrätt mot en viss geometrisk enhet som beaktas, som kan vara till exempel med en kurva, ett plan eller en yta.
Det är ett mycket användbart koncept vid placering av en rörlig partikel eller någon yta i rymden. I följande graf är det möjligt att se hur den normala vektorn till en godtycklig kurva C är:
Figur 1. En kurva C med vektorn normal till kurvan vid punkt P. Källa: Svjo
Tänk på en punkt P på kurva C. Punkten kan representera en rörlig partikel som rör sig längs en C-formad bana. Tangentlinjen till kurvan vid punkt P dras med rött.
Observera att vektor T är tangent till C vid varje punkt, medan vektor N är vinkelrätt mot T och pekar mot mitten av en imaginär cirkel vars båge är ett segment av C. Vektorer betecknas med fetstil i tryckt text, för skilja dem från andra icke-vektorkvantiteter.
Vektoren T anger alltid var partikeln rör sig, därför indikerar den partikelns hastighet. Å andra sidan pekar vektorn N alltid i den riktning i vilken partikeln roterar, på detta sätt indikerar den konkaviteten hos kurvan C.
Hur får man den normala vektorn till ett plan?
Den normala vektorn är inte nödvändigtvis en enhetsvektor, det vill säga en vektor vars modul är 1, men i så fall kallas den en normal enhetsvektor.
Bild 2. Till vänster är ett plan P och de två vektorerna normala för nämnda plan. Till höger är enhetsvektorerna i de tre riktningarna som bestämmer rymden. Källa: Wikimedia Commons. Se sidan för författare
I många applikationer är det nödvändigt att känna vektorn normal till ett plan snarare än en kurva. Denna vektor avslöjar riktningen för nämnda plan i rymden. Tänk till exempel planet P (gult) på figuren:
Det finns två normala vektorer till detta plan: n 1 och n 2 . Användningen av det ena eller det andra kommer att bero på det sammanhang i vilket nämnda plan finns. Att få den normala vektorn till ett plan är mycket enkelt om ekvationen för planet är känd:
Här uttrycks vektorn N i termer av de vinkelräta enhetsvektorerna i , j och k , riktade längs de tre riktningarna som bestämmer xyz-utrymmet, se figur 2 till höger.
Den normala vektorn från vektorprodukten
En mycket enkel procedur för att hitta den normala vektorn använder sig av vektorproduktens egenskaper mellan två vektorer.
Som är känt bestämmer tre olika punkter, inte kollinära med varandra, ett plan P. Nu är det möjligt att erhålla två vektorer u och v som tillhör nämnda plan med dessa tre punkter.
När väl vektorerna erhållits är vektorprodukten u x v en operation vars resultat i sin tur är en vektor som har egenskapen att vara vinkelrätt mot planet bestämt av u och v .
Känd denna vektor, den betecknas som N , och från det kommer det att vara möjligt att bestämma ekvationen för planet tack vare ekvationen som anges i föregående avsnitt:
N = u x v
Följande figur illustrerar det beskrivna förfarandet:
Figur 3. Med två vektorer och deras vektorprodukt eller kors bestäms ekvationen för planet som innehåller de två vektorerna. Källa: Wikimedia Commons. Det finns ingen maskinläsbar författare. M.Romero Schmidtke antog (baserat på upphovsrättsanspråk).
Exempel
Hitta ekvationen för planet bestämt av punkterna A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Lösning
Denna övning illustrerar proceduren som beskrivs ovan. Genom att ha tre poäng väljs en av dem som det gemensamma ursprunget för två vektorer som tillhör det plan som definieras av dessa punkter. Till exempel är punkt A inställt som ursprung och vektorerna AB och AC är konstruerade .
Vektor AB är vektorn vars ursprung är punkt A och vars slutpunkt är punkt B. Koordinaterna för vektor AB bestäms genom att subtrahera koordinaterna för B från koordinaterna för A:
Vi fortsätter på samma sätt för att hitta vektorn AC :
Beräkning av vektorprodukten
Det finns flera procedurer för att hitta korsprodukten mellan två vektorer. Detta exempel använder en mnemonisk procedur som använder följande figur för att hitta vektorprodukterna mellan enhetsvektorerna i , j och k:
Figur 4. Diagram för att bestämma vektorprodukten mellan enhetsvektorerna. Källa: självgjord.
Till att börja med är det bra att komma ihåg att vektorprodukterna mellan parallella vektorer är noll, därför:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Och eftersom vektorprodukten är en annan vektor vinkelrätt mot de deltagande vektorerna och rör sig i den röda pilens riktning har vi:
Om du måste gå i motsatt riktning till pilen lägger du till en skylt (-):
Totalt är det möjligt att göra 9 vektorprodukter med enhetsvektorerna i , j och k , varav 3 är noll.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Ekvation av planet
Vektoren N har bestämts av den tidigare beräknade vektorprodukten:
N = 2 i -8 j -2 k
Därför är a = 2, b = -8, c = -2, det sökta planet är:
Värdet på d återstår att bestämma. Detta är lätt om värdena på någon av punkterna A, B eller C som är tillgängliga ersätts i planets ekvation. Att välja C till exempel:
x = 4; y = 2; z = 1
Resterna:
Kort sagt, den sökta kartan är:
Den nyfikna läsaren kanske undrar om samma resultat skulle ha uppnåtts om man istället för att göra AB x AC hade valt att göra AC x AB. Svaret är ja, planet som bestäms av dessa tre punkter är unikt och har två normala vektorer, som visas i figur 2.
När det gäller den punkt som valts som vektorernas ursprung finns det inga problem att välja någon av de andra två.
referenser
- Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Kinematik. Redigerad av Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Hitta det normala till ett plan. Återställs från: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Kalkyl och analytisk geometri. Mc Graw Hill. 616-647.
- Linjer och plan i R 3. Återställs från: math.harvard.edu.
- Normal vektor. Återställs från mathworld.wolfram.com.