RESULTERANDE VEKTOR: BERÄKNING, EXEMPEL, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den resulterande vektorn är den som erhålls genom en operation med vektorer vars resultat också är en vektor. Normalt är denna operation summan av två eller flera vektorer, med vilka en vektor erhålls vars effekt är ekvivalent.

På detta sätt erhålls vektorer såsom den resulterande hastigheten, accelerationen eller kraften. Till exempel, när flera krafter F ₁ , F ₂ , F ₃ , … verka på en kropp . vektorn summan av alla dessa krafter är lika med nettokraften (den resulterande), som matematiskt uttrycks enligt följande:

F ₁ + F ₂ + F ₃ + … = F _R eller F _N

Figur 1. Snöens vikt fördelas på taket och dess verkan kan ersättas av en enda resulterande kraft applicerad på rätt plats. Källa: Pixabay.

Den resulterande vektorn, vare sig det är krafter eller någon annan vektorstorlek, hittas genom att tillämpa reglerna för vektortillsats. Eftersom vektorer har riktning och känsla såväl som numeriskt värde räcker det inte att lägga till modulerna för att få den resulterande vektorn.

Detta gäller endast i de fall där de involverade vektorerna är i samma riktning (se exempel). Annars är det nödvändigt att använda vektorsummetoder, som beroende på fallet kan vara geometriska eller analytiska.

exempel

Geometriska metoder för att hitta den resulterande vektorn är traversmetoden och parallelogrammetoden.

När det gäller analysmetoderna finns det komponentmetoden, genom vilken vektorn som härrör från vilket vektorvektorsystem som helst kan hittas, så länge vi har dess kartesiska komponenter.

Geometriska metoder för att lägga till två vektorer

Anta att vektorerna u och v (vi anger dem med fet stil för att skilja dem från skalorna). I figur 2a) har vi dem placerade på planet. I figur 2 b) har den översatts till vektor v på ett sådant sätt att dess ursprung sammanfaller med slutet av u . Den resulterande vektorn går från ursprunget till den första ( u ) till spetsen av den sista ( v ):

Figur 2. Den resulterande vektorn från den grafiska summan av vektorer. Källa: självgjord.

Den resulterande figuren i detta fall är en triangel (en triangel är en 3-sidig polygon). Om vi ​​har två vektorer i samma riktning, är proceduren densamma: placera en av vektorerna efter den andra och dra en som går från ursprung eller svans för den första till spetsen eller slutet av den sista.

Observera att den ordning som denna procedur utförs inte spelar någon roll, eftersom summan av vektorer är kommutativa.

Observera också att i detta fall är modulen (längden eller storleken) på den resulterande vektorn summan av modulerna för de adderade vektorerna, till skillnad från det föregående fallet, där modulen för den resulterande vektorn är mindre än summan av deltagarmoduler.

Parallelogrammetod

Den här metoden är mycket lämplig när du behöver lägga till två vektorer vars ursprungspunkter sammanfaller, till exempel med ursprunget till ett xy-koordinatsystem. Anta att detta är fallet för våra vektorer u och v (figur 3a):

Figur 3. Summan av två vektorer med hjälp av parallellogrammetoden med den resulterande vektorn i turkosblått. Källa: självgjord.

I figur 3b) har ett parallellogram konstruerats med hjälp av streckade linjer parallella med u och v . Den resulterande vektorn har sitt ursprung vid O och dess slut vid den punkt där de streckade linjerna korsar varandra. Denna procedur är helt ekvivalent med den som beskrivs i föregående avsnitt.

övningar

-Övning 1

Med tanke på följande vektorer, hitta den resulterande vektorn med hjälp av traversmetoden.

Figur 4. Vektorer för att hitta deras resultat med hjälp av den polygonala metoden. Övning 1. Källa: egen utarbetande.

Lösning

Traversmetoden är den första av de metoder som ses. Kom ihåg att summan av vektorer är kommutativ (tilläggens ordning förändrar inte summan), så du kan börja med valfri vektor, till exempel u (figur 5a) eller r (figur 5b):

Figur 5. Summan av vektorer med den polygonala metoden. Källa: självgjord.

Tal som erhålls är en polygon och den resulterande vektorn (i blått) kallas R . Om du börjar med en annan vektor kan formen som bildas vara annorlunda, som visas i exemplet, men den resulterande vektorn är densamma.

Övning 2

I följande figur vet vi att modulerna för vektorerna u respektive v är u = 3 godtyckliga enheter och v = 1,8 godtyckliga enheter. Vinkeln som u gör med den positiva x-axeln är 45º, medan v gör 60º med y-axeln, som det ses i figuren. Hitta den resulterande vektorn, storleken och riktningen.

Lösning

I föregående sektion hittades den resulterande vektorn genom att använda parallellogrammetoden (i turkos i figuren).

Ett enkelt sätt att hitta den resulterande vektorn analytiskt är att uttrycka tilläggsvektorerna i termer av deras kartesiska komponenter, vilket är en enkel uppgift när modul och vinkel är kända, till exempel vektorerna i detta exempel:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektorerna u och v är vektorer som tillhör planet och har därför två komponenter vardera. Vektor u är i den första kvadranten och dess komponenter är positiva, medan vektor v är i den fjärde kvadranten; dess x-komponent är positiv, men dess projicering på den vertikala axeln faller på den negativa y-axeln.

Beräkning av de kartesiska komponenterna i den resulterande vektorn

Den resulterande vektorn hittas genom att algebraiskt lägga till respektive x- och y-komponenter för att erhålla deras kartesiska komponenter:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

När de kartesiska komponenterna har specificerats är vektorn helt känd. Den resulterande vektorn kan uttryckas med notationen inom parentes:

R = <3,68; 1.22> godtyckliga enheter

Bracket notation används för att skilja en vektor från en punkt i planet (eller i rymden). Ett annat sätt att uttrycka den resulterande vektorn analytiskt är att använda enhetsvektorerna i och j i planet ( i , j och k i rymden):

R = 3,68 i + 1,22 j godtyckliga enheter

Eftersom båda komponenterna i den resulterande vektorn är positiva, tillhör vektorn R den första kvadranten, som redan har sett grafiskt tidigare.

Storlek och riktning för den resulterande vektorn

Genom att känna till de kartesiska komponenterna beräknas storleken på R genom Pythagoreas teorem, eftersom den resulterande vektorn R , tillsammans med dess komponenter _Rx och R _och bildar en rätt triangel:

Storlek eller modul: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Riktning q som tar den positiva x-axeln som referens: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

referenser

1. Lägga till vektorer och regler. Hämtad från: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: vektorer. Återställd från: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statisk 6: e upplagan. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Vector Addition Calculator. Hämtad från: www.1728.org