VEKTORER I RYMDEN: HUR MAN GRAFER, APPLIKATIONER, ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

En vektor i rymden är allt som representeras av ett koordinatsystem som ges av x, y och z. Merparten av tiden är xy-planet det horisontella ytplanet och z-axeln representerar höjden (eller djupet).

De kartesiska koordinataxlarna som visas i figur 1 delar utrymme i 8 regioner som kallas oktanter, analogt med hur x - y axlarna delar planet i 4 kvadranter. Vi kommer då att ha 1: a oktant, 2: a oktant och så vidare.

Figur 1. En vektor i rymden. Källa: självgjord.

Figur 1 innehåller en representation av en vektor v i rymden. Vissa perspektiv krävs för att skapa en illusion av tre dimensioner på skärmplanet, vilket uppnås genom att rita en sned vy.

För att grafera en 3D-vektor måste man använda de streckade linjerna som bestämmer på nätet koordinaterna för projektionen eller "skuggan" av v på xy-ytan. Denna projicering börjar vid O och slutar vid den gröna punkten.

När du är där måste du fortsätta längs vertikalen till nödvändig höjd (eller djup) enligt värdet på z, tills du når P. Vektorn dras med början från O och slutar vid P, som i exemplet är i den första oktanten.

tillämpningar

Vektorer i rymden används ofta inom mekanik och andra grenar inom fysik och teknik, eftersom strukturerna som omger oss kräver geometri i tre dimensioner.

Positionvektorer i rymden används för att placera objekt med avseende på en referenspunkt som kallas OR-ursprunget, därför är de också nödvändiga verktyg i navigering, men det är inte allt.

Krafter som verkar på strukturer som bultar, konsoler, kablar, stagar och mer är vektoraktiga och orienterade i rymden. För att veta dess effekt är det nödvändigt att känna till sin adress (och dess tillämpningsområde).

Och ofta är riktningen för en kraft känd genom att känna till två punkter i rymden som hör till dess handlingslinje. På detta sätt är kraften:

F = F u

Där F är storleken eller storleken av den kraft och u är enhetsvektom (modul 1) riktad längs verkningslinjen F .

Notation och 3D-vektorrepresentationer

Innan vi fortsätter med att lösa några exempel kommer vi att gå igenom 3D-vektornotation.

I exemplet i figur 1 har vektorn v, vars ursprungspunkt sammanfaller med ursprunget O och vars ände är punkt P, positiva xyz-koordinater, medan y-koordinaten är negativ. Dessa koordinater är: x ₁ , y ₁ , z ₁ , som exakt är koordinaterna för P.

Så om vi har en vektor länkad till ursprunget, det vill säga vars utgångspunkt sammanfaller med O, är det mycket lätt att ange dess koordinater, vilket kommer att vara de i extrempunkten eller P. För att skilja mellan en punkt och en vektor, kommer vi att använda till de sista djärva bokstäverna och parenteserna, så här:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Medan punkten P betecknas med parenteser:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

En annan representation använder sig av enhetsvektorerna i , j och k som definierar de tre riktningsriktningarna på x-, y- och z-axlarna.

Dessa vektorer är vinkelräta mot varandra och bildar en ortonormal bas (se figur 2). Detta innebär att en 3D-vektor kan skrivas i termer av dem som:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Angles and Director Cosines of a Vector

Figur 2 visar också regissören vinklarna y ₁ , γ ₂ och γ ₃ att vektorn v gör med respektive x, y- och z-axlarna. Genom att känna till dessa vinklar och storleken på vektorn är det helt bestämt. Dessutom möter kosinorna i regissörsvinklarna följande förhållande:

(cos y ₁ ) ² + (cos y ₂ ) ² + (cos y ₃ ) ² = 1

Figur 2. Enhetsvektorerna i, j och k bestämmer de tre preferensriktningarna för rymden. Källa: självgjord.

Lösta övningar

-Övning 1

I figur 2 är vinklarna y ₁ , y ₂ och y ₃ som vektorn v i modul 50 bildar med koordinataxlarna: 75,0º, 60,0º och 34,3º. Hitta de kartesiska komponenterna i denna vektor och representera den i termer av enhetsvektorerna i , j och k .

Lösning

Projektionen av vektorn v på x-axeln är v _x = 50. cos 75º = 12,941. På samma sätt är projektionen av v på y-axeln v _y = 50 cos 60 º = 25 och slutligen på z-axeln är v _z = 50. cos 34,3 º = 41,3. Nu kan v uttryckas som:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

-Övning 2

Hitta spänningarna i var och en av kablarna som håller skopan i figuren som är i jämvikt, om vikten är 30 N.

Bild 3. Stressdiagram för övning 2.

Lösning

På skopan, indikerar friläggning att T _D (grön) förskjuter vikten W (gul), därför T _D = W = 30 N.

Vid noden, vektorn T _D är riktad vertikalt nedåt, sedan:

T _D = 30 (- k ) N.

Följ de här stegen för att fastställa de återstående spänningarna:

Steg 1: Hitta koordinaterna för alla poäng

A = (4,5,0,3) (A är på väggens plan xz)

B = (1,5,0,0) (B är på x-axeln)

C = (0, 2,5, 3) (C är på väggens plan och z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D är på det horisontella xy-planet)

Steg 2: Hitta vektorerna i varje riktning genom att subtrahera koordinaterna för slutet och början

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; ett; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Steg 3: Beräkna moduler och enhetsvektorer

En enhetsvektor erhålls genom uttrycket: u = r / r, där r (med fetstil) är vektorn och r (inte i fetstil) är modulen för nämnda vektor.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ² ) ^½ = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; ett; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -ett; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Steg 4: Uttryck alla spänningar som vektorer

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -ett; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Steg 5: Tillämpa det statiska jämviktsförhållandet och lösa ekvationssystemet

Slutligen appliceras tillståndet för statisk jämvikt på skopan, så att vektorsumman för alla krafter på noden är noll:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Eftersom spänningarna är i rymden kommer det att resultera i ett system med tre ekvationer för varje komponent (x, y och z) av spänningarna.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Lösningen är: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

referenser

1. Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik 31-68.
3. Fysisk. Modul 8: vektorer. Återställd från: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statisk 6: e upplagan. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Vector Addition Calculator. Återställd från: 1728.org