De fria vektorerna är de som är fullständigt specificerade av dess storlek, riktning och känsla, utan att det är nödvändigt att ange en tillämpningspunkt eller ett visst ursprung.
Eftersom oändliga vektorer kan ritas på detta sätt är en fri vektor inte en enda enhet, utan en uppsättning parallella och identiska vektorer som är oberoende av var de befinner sig.
Figur 1. Olika fria vektorer. Källa: självgjord.
Låt oss säga att vi har flera vektorer med storleken 3 riktade vertikalt uppåt, eller med storleken 5 och lutade till höger, som i figur 1.
Ingen av dessa vektorer appliceras specifikt vid någon punkt. Då är någon av de blå eller gröna vektorerna representativ för deras respektive grupp, eftersom deras egenskaper - modul, riktning och känsla - inte ändras alls när de överförs till en annan plats i planet.
En fri vektor benämns vanligtvis i tryckt text med en fet, liten bokstav, till exempel v. Eller med en liten bokstav och en pil ovanför om det är handskriven text .
Fördelen som fria vektorer har är att de kan flyttas genom planet eller genom rymden och bibehålla sina egenskaper, eftersom varje representant för uppsättningen är lika giltig.
Det är därför som de används i fysik och mekanik ofta. För att exempelvis indikera den linjära hastigheten hos ett fast ämne som översätter är det inte nödvändigt att välja en viss punkt på objektet. Så hastighetsvektorn beter sig som en fri vektor.
Ett annat exempel på en fri vektor är styrkorna. Ett par består av två krafter med samma storlek och riktning, men av motsatta riktningar, applicerade på olika punkter på ett fast ämne. Effekten av ett par är inte att flytta objektet utan att orsaka en rotation tack vare det producerade ögonblicket.
Figur 2 visar ett par krafter applicerade på en ratt. Genom de krafter F 1 och F 2 , är det vridmoment som skapas som roterar svänghjulet kring sitt centrum och i en medurs riktning.
Figur 2. Ett par krafter som appliceras på en ratt ger den medurs. Källa: Bielasko.
Du kan göra vissa ändringar i vridmomentet och fortfarande få samma roterande effekt, till exempel att öka kraften, men minska avståndet mellan dem. Eller bibehålla kraften och avståndet, men applicera vridmomentet på ett annat par punkter på ratten, det vill säga, vrid vridmomentet runt mitten.
Paret eller parets ögonblick är en vektor vars modul är Fd och riktas vinkelrätt mot svänghjulets plan. I exemplet som visas med konventionen har rotationen medurs en negativ riktning.
Egenskaper och egenskaper
Till skillnad från den fria vektorn v, är vektorerna AB och CD fixade (se figur 3), eftersom de har en specificerad startpunkt och ankomstpunkt. Men eftersom de är grupplinserande med varandra, och i sin tur med vektorn v , är de representativa för den fria vektorn v .
Bild 3. Fria vektorer, teamlinsvektorer och fasta vektorer. Källa: självgjord.
Fria vektorers huvudegenskaper är följande:
-Alla vektor AB (se figur 2) är som sagt representativt för den fria vektorn v .
-Modulen, riktningen och känslan är desamma i alla representanter för den fria vektorn. I figur 2 representerar vektorerna AB och CD den fria vektorn v och är teamlinser.
-Giv en punkt P i rymden, det är alltid möjligt att hitta en representant för den fria vektorn v vars ursprung är i P och denna representant är unik. Detta är den viktigaste egenskapen hos fria vektorer och den som gör dem så mångsidiga.
-En null fri vektor betecknas som 0 och är uppsättningen av alla vektorer som saknar storlek, riktning och känsla.
-Om vektor AB representerar den fria vektorn v , representerar sedan vektor BA den fria vektorn - v .
-Notationen V 3 kommer att användas för att beteckna uppsättningen av alla fria vektorer i rymden och V 2 för att beteckna alla fria vektorer i planet.
Lösta övningar
Med fria vektorer kan följande operationer utföras:
-Belopp
-Subtraktion
-Multiplikation av skalar med en vektor
-Scalar-produkt mellan två vektorer.
-Korsa produkten mellan två vektorer
-Linär kombination av vektorer
Och mer.
-Övning 1
En student försöker simma från en punkt på stranden av en flod till en annan som är direkt motsatt. För att uppnå detta simmar den direkt med en hastighet av 6 km / h, i en vinkelrätt riktning, men strömmen har en hastighet på 4 km / h som avleder den.
Beräkna simmareens resulterande hastighet och hur mycket han avböjs av strömmen.
Lösning
Den resulterande hastigheten för simmare är vektorn summan av hans hastighet (med avseende på floden, dragen vertikalt uppåt) och flodens hastighet (dragen från vänster till höger), som utförs såsom anges i figuren nedan:
Storleken på den resulterande hastigheten motsvarar hypotenusen i den högra triangeln som visas, därför:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / h = 7,2 km / h
Riktningen kan beräknas med vinkeln med avseende på vinkelrätt mot stranden:
α = arctg (4/6) = 33,7º eller 56,3º med avseende på stranden.
Övning 2
Hitta ögonblicket för paret av krafter som visas i figuren:
Lösning
Momentet beräknas av:
M = r x F
Momentets enheter är lb-f.ft. Eftersom paret befinner sig i skärmens plan riktas ögonblicket vinkelrätt mot det, antingen utåt eller inåt.
Eftersom vridmomentet i exemplet tenderar att rotera föremålet på vilket det appliceras (vilket inte visas på figuren) medsols, anses detta ögonblick peka mot skärmens insida och med ett negativt tecken.
Momentets storlek är M = Fdsen a, där a är vinkeln mellan kraften och vektorn r. Du måste välja en punkt för att beräkna ögonblicket, som är en fri vektor. Ursprunget för referenssystemet väljs, därför går r från O till platsen för varje kraft.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 Ib-f. fot
Nettomomentet är summan av M 1 och M 2 : -17329,5 lb-f. fot.
referenser
- Beardon, T. 2011. En introduktion till vektorer. Återställd från: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Engineering Mechanics: Statics. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Volym 1. Kinematik 31-68.
- Fysisk. Modul 8: vektorer. Återställd från: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanics for Engineers. Statisk 6: e upplagan. Continental Publishing Company. 15-53.
- Vector Addition Calculator. Återställd från: 1728.org
- Vektorer. Återställd från: en.wikibooks.org