VINKELHASTIGHET: DEFINITION, FORMEL, BERÄKNING OCH ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den vinkelhastighet är ett mått på rotationshastigheten och definieras som den vinkel som roterar positionsvektorn för det roterande objektet, per tidsenhet. Det är en magnitude som mycket väl beskriver rörelsen för en mängd föremål som ständigt roterar överallt: CD-skivor, bilhjul, maskiner, jorden och många fler.

Ett diagram över «London eye» kan ses i följande figur. Det representerar rörelsen för en passagerare representerad av punkt P, som följer den cirkulära vägen, kallad c:

Schematisk framställning av den cirkulära vägen som en passagerare i «London eye» följer. Källa: självgjord.

Passageraren upptar position P vid ögonblick t och vinkelläget motsvarande det ögonblicket är ϕ.

Från ögonblicket t förflutnar en tidsperiod Δt. Under denna period är den punktliga passagerarens nya position P 'och vinkelläget har ökat med en vinkel Δϕ.

Hur beräknas vinkelhastigheten?

För rotationskvantiteter används grekiska bokstäver i stor utsträckning för att skilja dem från linjära mängder. Så initialt definieras medelvinkelhastigheten ω _m som den vinklade rörelsen under en viss tidsperiod.

Sedan kommer kvoten Δϕ / Δt att representera medelvinkelhastigheten ω _m mellan momenten t och t + Δt.

Om du vill beräkna vinkelhastigheten precis vid ögonblicket t, måste du beräkna förhållandet Δϕ / Δt när Δt ➡0:

Förhållandet mellan linjär och vinkelhastighet

Den linjära hastigheten v, är kvoten mellan det körda avståndet och den tid det tar att köra det.

I figuren ovan är den färdade bågen Δs. Men den bågen är proportionell mot den vinklade vägen och radien, varvid följande förhållande uppfylls, vilket är giltigt så länge Δϕ mäts i radianer:

Δs = r ・ Δϕ

Om vi ​​delar upp det föregående uttrycket med tidsförloppet Δt och tar gränsen när Δt ➡0 kommer vi att få:

v = r ・ ω

Enhetlig rotationsrörelse

På bilden är det berömda "London eye", ett 135 m högt snurrhjul som svänger långsamt så att människor kan gå ombord på stugorna vid dess bas och njuta av Londons landskap. Källa: Pixabay.

En rotationsrörelse är enhetlig om vinkeln som är observerad vid samma observerade ögonblick är densamma under samma tidsperiod.

Om rotationen är likformig, sammanfaller vinkelhastigheten vid varje ögonblick med den genomsnittliga vinkelhastigheten.

Vidare, när en komplett svängning görs, är den färdade vinkeln 2π (motsvarande 360º). Därför är vinkelhastighetshastigheten i en enhetlig rotation relaterad till perioden T med följande formel:

f = 1 / T

Det vill säga, i en enhetlig rotation är vinkelhastigheten relaterad till frekvensen genom:

ω = 2π ・ f

Löst problem med vinkelhastighet

Övning 1

Stugorna på det stora snurrhjulet, känt som "London Eye" rör sig långsamt. Fartygens hastighet är 26 cm / s och hjulet är 135 m i diameter.

Beräkna med dessa data:

i) Hjulets vinkelhastighet

ii) Rotationsfrekvensen

iii) Den tid det tar för en stuga att göra en komplett sväng.

svar:

i) Hastigheten v i m / s är: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Radien är halva diametern: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 varv / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 varv / s = 0,0368 varv / min = 2,21 varv / timme.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 varv / timme = 0,45311 timme = 27 min 11 sek

Övning 2

En leksaksbil rör sig på ett cirkulärt spår med en radie på 2m. Vid 0 s är dess vinkelposition 0 rad, men efter en tid t ges dess vinkelläge av:

φ (t) = 2 ・ t

Bestämma:

i) Vinkelhastigheten

ii) Den linjära hastigheten när som helst.

svar:

i) Vinkelhastigheten är derivatan för vinkelpositionen: ω = φ '(t) = 2.

Med andra ord, leksaksbilen har alltid en konstant vinkelhastighet lika med 2 rad / s.

ii) Bilens linjära hastighet är: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h

Övning 3

Samma bil från föregående övning börjar stoppa. Dess vinkelposition som funktion av tiden ges av följande uttryck:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Bestämma:

i) Vinkelhastigheten när som helst

ii) Den linjära hastigheten när som helst

iii) Den tid det tar att stoppa från det ögonblick det börjar avta

iv) Den färdade vinkeln

v) rest avstånd

svar:

i) Vinkelhastigheten är derivatan för vinkelpositionen: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) Bilens linjära hastighet när som helst ges av:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Den tid det tar att stoppa från det ögonblick som det börjar avta, bestäms genom att känna till det ögonblick då hastigheten v (t) blir noll.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Det betyder att den slutar 2 sekunder efter att ha börjat bromsa.

iv) Under perioden på 2s från den börjar bromsa tills den stannar körs en vinkel som ges av φ (2):

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 grader

v) Under tiden 2 s från början av bromsningen till stoppet körs ett avstånd s som ges av:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Övning 4

Bilens hjul är 80 cm i diameter. Om bilen kör 100 km / h. Hitta: i) hjulens rotationshastighet, ii) hjulens rotationsfrekvens, iii) Antalet varv hjulet gör under en timmes resa.

svar:

i) Först och främst kommer vi att konvertera bilens hastighet från km / h till h / s

v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Hjulens rotationshastighet anges av:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Hjulens rotationsfrekvens anges av:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 varv / s

Rotationsfrekvensen uttrycks vanligtvis i varv per minut varv / minut

f = 11,05 varv / s = 11,05 varv / (1/60) min = 663,15 rpm

iii) Antalet varv hjulet gör under en timmes resa beräknas med vetskap om att 1 timme = 60 min och att frekvensen är antalet varv N dividerat med tiden då dessa N-varv görs.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (varv / min) x 60 min = 39788,7 varv.

referenser

1. Giancoli, D. Fysik. Principer med tillämpningar. 6: e upplagan. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fysisk. Volym 1. Tredje upplagan på spanska. Mexico. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. 7. Utgåva. Mexico. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org