AREOLAR HASTIGHET: HUR DET BERÄKNAS OCH ÖVNINGAR LÖSES - FYSISK - 2025

Den areolära hastigheten är området som sveps per tidsenhet och är konstant. Det är specifikt för varje planet och härrör från beskrivningen av Keplers andra lag i matematisk form. I den här artikeln kommer vi att förklara vad det är och hur det beräknas.

Bommen som representerar upptäckten av planeter utanför solsystemet har återaktiverat intresset för planetrörelse. Ingenting får oss att tro att dessa exo-planeter följer andra lagar än de som redan är kända och giltiga i solsystemet: Keplers lagar.

Johannes Kepler var astronomen som utan hjälp av teleskopet och med hjälp av observationerna från sin mentor Tycho Brahe skapade en matematisk modell som beskriver planetenes rörelse runt solen.

Han lämnade denna modell förkroppsligad i de tre lagarna som bär hans namn och som fortfarande är lika giltiga idag som 1609, när han grundade de första två och 1618, det datum då han uttalade den tredje.

Keplers lagar

I dagens förslag läser Keplers tre lagar så här:

1. Banorna på alla planeter är elliptiska och solen är i ett fokus.

2. Positionsvektorn från solen till en planet sveper över lika områden i samma tider.

3. Kvadratet för en planets omloppsperiod är proportionell mot kuben på den beskrivna ellipsens halv-huvudaxel.

En planet har en linjär hastighet, precis som alla kända rörliga objekt. Och det finns fortfarande mer: när man skriver Keplers andra lag i matematisk form uppstår ett nytt begrepp som kallas areolär hastighet, typisk för varje planet.

Varför rör planeterna elliptiskt runt solen?

Jorden och de andra planeterna rör sig runt solen tack vare att den utövar en kraft på dem: gravitationsattraktionen. Samma sak händer med någon annan stjärna och de planeter som utgör dess system, om de har dem.

Detta är en kraft av den typ som kallas en central kraft. Vikt är en central kraft som alla är bekanta med. Objektet som utövar den centrala kraften, vare sig det är solen eller en avlägsen stjärna, lockar planeterna mot dess centrum och de rör sig i en stängd kurva.

I princip kan denna kurva approximeras som en omkrets, liksom Nicolás Copernicus, en polsk astronom som skapade den heliocentriska teorin.

Den ansvariga kraften är gravitationsattraktionen. Denna kraft beror direkt på massorna hos stjärnan och planeten i fråga och är omvänt proportionell mot kvadratet på avståndet som skiljer dem.

Problemet är inte så lätt, för i ett solsystem samverkar alla element på detta sätt och lägger till komplexiteten i saken. Dessutom är de inte partiklar, eftersom stjärnor och planeter har mätbar storlek.

Av denna anledning är den centrala punkten i banan eller kretsen som planeterna reser inte exakt centrerad på stjärnan, utan vid en punkt känd som tyngdpunkten för solplanetens system.

Den resulterande banan är elliptisk. Följande bild visar det med ett exempel på jorden och solen:

Bild 1. Jordens omloppsbana är elliptisk med solen belägen i en av fokuserna. När jorden och solen är på sitt maximala avstånd sägs jorden vara i aphelion. Och om avståndet är minimalt talar vi om perihelion.

Aphelionen är den längsta positionen på jorden från solen, medan perihelionen är den närmaste punkten. Ellipsen kan vara mer eller mindre platt, beroende på egenskaperna hos stjärnplanet-systemet.

Värdena för aphelion och perihelion varierar årligen, eftersom de andra planeterna orsakar störningar. För andra planeter kallas dessa positioner apoaster respektive periaster.

Storleken på en planets linjära hastighet är inte konstant

Kepler upptäckte att när en planet kretsar runt solen, under sin rörelse, sopar han ut lika områden i lika tider. Figur 2 visar grafiskt innebörden av detta:

Figur 2. En planets positionsvektor med avseende på solen är r. När planeten beskriver sin omloppsbana reser den en ellipsbåge i en tid Δt.

Matematiskt uttrycks det faktum att A ₁ är lika med A ₂ :

Bågarna traveleds är små, så att varje område kan ungefär det i en triangel:

Eftersom Δs = v Δ t, där v är planetens linjära hastighet vid en given punkt, genom att ersätta har vi:

Och eftersom tidsintervallet Δt är detsamma får vi:

Eftersom r ₂ > r ₁ , därefter v ₁ > v ₂ , med andra ord, är inte konstant linjär hastighet av en planet. I själva verket går jorden snabbare när den är i perihelion än när den är i aphelion.

Därför är den linjära hastigheten på jorden eller någon planet runt solen inte en storlek som tjänar till att känneteckna planetens rörelse.

Areolar hastighet

Med följande exempel kommer vi att visa hur man beräknar den areolära hastigheten när vissa parametrar för planetrörelse är kända:

Träning

En exo-planet rör sig runt sin sol efter en elliptisk bana enligt Keplers lagar. När den är vid periaster är dess radievektor r ₁ = 4 · 10 ⁷ km, och när den är vid apoaster är den r ₂ = 15 · 10 ⁷ km. Linjär hastighet vid dess periaster är v ₁ = 1000 km / s.

Beräkna:

A) Hastigheten på apoastrofen.

B) Exo-planetens areolära hastighet.

C) Längden på ellipsens halv-huvudaxel.

Svara på)

Ekvationen används:

där numeriska värden är ersatta.

Varje term identifieras enligt följande:

v ₁ = hastighet i apoastro; v ₂ = hastighet vid periaster; r ₁ = avstånd från apoaster,

r ₂ = avstånd från periasteren.

Med dessa värden får du:

Svar B)

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. Mexiko. Cengage Learning Editors. 367-372.
2. Stern, D. (2005). Keplers tre lagar om planetarisk rörelse. Återställdes från pwg.gsfc.nasa.gov
3. Obs: den föreslagna övningen togs och modifierades från följande text i en McGrawHill-bok. Tyvärr är det ett isolerat kapitel i pdf-format, utan titeln eller författaren: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf