OMEDELBAR HASTIGHET: DEFINITION, FORMEL, BERÄKNING OCH ÖVNINGAR - FYSISK - 2025

Den omedelbara hastigheten definieras som den momentana förändringen av tidsskiftet. Det är ett koncept som ger ökad precision till studien av rörelse. Och det är ett framsteg med avseende på medelhastigheten, vars information är mycket allmän.

För att få den omedelbara hastigheten, låt oss titta på ett så litet tidsintervall som möjligt. Differentialberäkning är det perfekta verktyget för att uttrycka denna idé matematiskt.

Omedelbar hastighet visar mobilens hastighet vid varje punkt på sin resa. Källa: Pixabay.

Utgångspunkten är medelhastigheten:

Denna gräns kallas ett derivat. I noteringen för differentiell kalkyl har vi:

Så länge som rörelsen är begränsad till en rak linje, kan vektornotationen tas bort.

Beräkning av omedelbar hastighet: geometrisk tolkning

Följande figur visar den geometriska tolkningen av derivatbegreppet: det är lutningen på tangentlinjen till kurvan x (t) vs. t vid varje punkt.

Den momentana hastigheten vid P är numeriskt lika med lutningen för tangentlinjen till kurvan x vs. t vid punkt P. Källa: Källa: す じ に く シ チ ュ ー.

Du kan föreställa dig hur du får gränsen om punkt Q närmar sig lite efter punkten till punkt P. Det kommer att komma en tid då båda punkterna är så nära att du inte kan skilja den ena från den andra.

Linjen som sammanfogar dem kommer sedan att gå från att vara säkra (linje som korsar varandra i två punkter) till att vara tangent (linje som berör kurvan på bara en punkt). För att hitta den momentana hastigheten för en rörlig partikel bör vi därför ha:

• Grafen över partikelns position som en funktion av tiden. När vi hittar lutningen på tangentlinjen till kurvan vid varje tidpunkt har vi den omedelbara hastigheten vid varje punkt som partikeln upptar.

Nåväl:

• Positioneringsfunktionen för partikeln x (t), som härleds för att erhålla hastighetsfunktionen v (t), sedan utvärderas denna funktion vid varje tidpunkt t, bekvämt. Positionfunktionen antas vara differentierbar.

Några speciella fall vid beräkning av omedelbar hastighet

-Tangentlinjens lutning till kurvan vid P är 0. En noll sluttning innebär att mobilen stoppas och att dess hastighet naturligtvis är 0.

-Tangentlinjens lutning till kurvan vid P är större än 0. Hastigheten är positiv. I diagrammet ovan betyder det att mobilen rör sig bort från O.

-Tangentlinjens lutning till kurvan vid P är mindre än 0. Hastigheten skulle vara negativ. I diagrammet ovan finns det inga sådana punkter, men i detta fall skulle partikeln närma sig O.

-Tangentlinjens lutning till kurvan är konstant vid P och alla andra punkter. I detta fall är grafen en rak linje och mobilen har enhetlig rätlinjig rörelse MRU (hastigheten är konstant).

I allmänhet är funktionen v (t) också en funktion av tiden, som i sin tur kan ha ett derivat. Tänk om det inte var möjligt att hitta derivaten för funktionerna x (t) och v (t)?

I fallet med x (t) kan det vara så att lutningen - den omedelbara hastigheten - ändras plötsligt. Eller att det skulle gå från noll till ett annat värde omedelbart.

I så fall skulle grafen x (t) presentera punkter eller hörn på platserna för plötsliga förändringar. Mycket annorlunda från fallet representerat i den föregående bilden, där kurvan x (t) är en slät kurva, utan punkter, hörn, diskontinuiteter eller plötsliga förändringar.

Sanningen är att för riktiga mobiler är de jämna kurvorna som bäst representerar objektets beteende.

Rörelsen i allmänhet är ganska komplex. Mobilerna kan stoppas ett tag, accelerera från vila för att ha en hastighet och flytta bort från startpunkten, upprätthålla hastigheten ett tag och sedan bromsa för att stoppa igen och så vidare.

Återigen kan de börja igen och fortsätta i samma riktning. Antingen kör bakåt och återgå. Detta kallas varierad rörelse i en dimension.

Här är några exempel på beräkning av den omedelbara hastigheten kommer att klargöra användningen av de givna definitionerna:

Löst övningar med omedelbar hastighet

Övning 1

En partikel rör sig längs en rak linje med följande rörelselag:

Alla enheter finns i det internationella systemet. Hitta:

a) Partikelns position vid t = 3 sekunder.

b) Medelhastigheten i intervallet mellan t = 0 s och t = 3 s.

c) Medelhastigheten i intervallet mellan t = 0 s och t = 3 s.

d) Partiklarnas momentana hastighet från föregående fråga, vid t = 1 s.

svar

a) För att hitta partikelns position utvärderas lagen om rörelse (positionsfunktion) vid t = 3:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Det finns inget problem att ställningen är negativ. Tecknet (-) indikerar att partikeln är till vänster om ursprunget O.

b) Vid beräkningen av medelhastigheten krävs de slutliga och initiala positionerna för partikeln vid de angivna tiderna: x (3) och x (0). Läget vid t = 3 är x (3) och är känt från föregående resultat. Läget vid t = 0 sekunder är x (0) = -10 m.

Eftersom den slutliga positionen är densamma som den initiala positionen dras det omedelbart slutsatsen att medelhastigheten är 0.

c) Medelhastigheten är förhållandet mellan kört avstånd och den tagna tiden. Nu är avståndet modulen eller storleken på förskjutningen, därför:

avstånd = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Observera att avståndet som alltid har varit positivt.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Här är det nödvändigt att hitta positionens första derivat med avseende på tid. Sedan utvärderas det i t = 1 sekund.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Övning 2

Nedan är grafen över en mobil position som en funktion av tiden. Hitta den omedelbara hastigheten vid t = 2 sekunder.

Graf över position mot tid för en mobil. Källa: självgjord.

Svar

Rita tangentlinjen till kurvan vid t = 2 sekunder och hitta sedan dess lutning och ta två poäng på linjen.

För att beräkna den omedelbara hastigheten på den angivna punkten, dra tangentlinjen till den punkten och hitta dess lutning. Källa: självgjord.

I det här exemplet tar vi två punkter som lätt kan visualiseras, vars koordinater är (2 s, 10 m) och snittet med den vertikala axeln (0 s, 7 m):

referenser

1. Giancoli, D. Fysik. Principer med tillämpningar. 6: ^e upplagan. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fysisk. Volym 1. Tredje upplagan på spanska. Mexico. Compañía Redaktion Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fysik för vetenskap och teknik. Volym 1. 7 ^ma . Utgåva. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.