- Bågen och dess mått
- Typer av bågar
- Cirkulär båge
- Parabolisk båge
- Korsbåge
- Elliptisk båge
- Exempel på valv
- Exempel 1
- Exempel 2
- referenser
Den båge i geometri är något böjd linje som förbinder två punkter. En krökt linje, till skillnad från en rak linje, är en vars riktning är olika vid varje punkt på den. Det motsatta av en båge är ett segment, eftersom detta är en rak sektion som sammanfogar två punkter.
Bågen som oftast används i geometri är omkretsbågen. Andra bågar i vanligt bruk är den paraboliska bågen, elliptiska bågen och hylsbågen. Bågeformen används också ofta i arkitekturen som ett dekorativt element och ett strukturellt element. Detta är fallet med överluckorna på dörrarna och fönstren, liksom med broar och akvedukter.
Figur 1. Regnbågen är en krökt linje som förbinder två punkter i horisonten. Källa: Pixabay
Bågen och dess mått
Måttet på en båge är dess längd, vilket beror på typen av kurva som förbinder de två punkterna och deras placering.
Längden på en cirkulär båge är en av de enklaste att beräkna, eftersom längden på hela bågen eller periferin av en omkrets är känd.
Omkretsen av en cirkel är två gånger gånger dess radie: p = 2 π R. Om vi vet detta, om vi vill beräkna längden s för en cirkulär båge av vinkeln α (mätt i radianer) och radien R, tillämpas en proportion:
(s / p) = (a / 2 n)
Sedan rensar vi från det föregående uttrycket och ersätter omkretsen p för dess uttryck som en funktion av radien R, har vi:
s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.
Det vill säga att måttet på en cirkulär båge är produkten från dess vinklade öppningstider cirkelbågens radie.
För en båge i allmänhet är problemet mer komplicerat, så att antikens stora tänkare hävdade att det var en omöjlig uppgift.
Det var inte förrän tillkomsten av differentiell och integrerad beräkning 1665 att problemet med att mäta någon båge löstes tillfredsställande.
Före uppfinningen av differentiell beräkning kunde lösningar endast hittas genom att använda polygonala linjer eller bågar av omkrets som approximerade den sanna bågen, men dessa lösningar var inte exakta.
Typer av bågar
Från geometriens synvinkel klassificeras bågar enligt den böjda linjen som sammanfogar två punkter på planet. Det finns andra klassificeringar beroende på dess användning och arkitektoniska form.
Cirkulär båge
När linjen som förbinder två punkter i planet är ett periferi med en viss radie, har vi en cirkulär båge. Figur 2 visar en cirkulär båge c med radie R-förbindningspunkterna A och B.
Figur 2. Cirkulär båge med radie R som förbinder punkterna A och B. Utarbetad av Ricardo Pérez.
Parabolisk båge
Parabolen är vägen följt av ett föremål som kastats snett i luften. När kurvan som sammanfogar två punkter är en parabola, så har vi en parabolbåge som den som visas i figur 3.
Figur 3. Paraboliska båganslutningspunkterna A och B. Förtydligade av Ricardo Pérez.
Detta är formen på strålen som kommer ut ur en slang som pekar uppåt. Parabolbågen kan observeras i vattenkällorna.
Bild 4. Parabolbåge bildad av vatten från en fontän i Dresden. Källa: Pixabay.
Korsbåge
Kabelbågen är en annan naturlig båge. Kabeln är kurvan som bildas naturligt när en kedja eller rep hänger löst från två separata punkter.
Bild 5. Kabelbåge och jämförelse med parabolbågen. Beredd av Ricardo Pérez.
Kabeln liknar parabolen, men den är inte exakt densamma som kan ses i figur 4.
Den inverterade hylsbågen används i arkitekturen som ett konstruktionselement med hög tryckhållfasthet. I själva verket kan det visas att det är den starkaste bågen av alla möjliga former.
För att bygga en solid kåpbåge, kopierar du bara formen på ett hängande rep eller kedja, sedan vippas den kopierade formen för att återge den på dörren eller fönsterlinsen.
Elliptisk båge
En båge är elliptisk om kurvan som förbinder två punkter är en ellipsbit. Ellipsen definieras som platsen för punkter vars avstånd till två givna punkter alltid ger en konstant mängd.
Ellipsen är en kurva som uppträder i naturen: det är kurvan för planetenes bana runt solen, vilket demonstrerades av Johannes Kepler 1609.
I praktiken kan en ellips dras genom att fästa två stagar på marken eller två stift i ett papper och binda en sträng till dem. Repet dras sedan åt med markören eller pennan och kurvan spåras. En bit ellips är en elliptisk båge. Följande animering illustrerar hur ellipsen ritas:
Bild 5. Spåra en ellips med ett stram rep. Källa: Wikimedia Commons
Figur 6 visar en elliptisk bågsförbindningspunkt G och H.
Bild 6. Elliptisk båge som förbinder två punkter. Beredd av Ricardo Pérez.
Exempel på valv
Följande exempel hänvisar till hur man beräknar omkretsen för vissa specifika valv.
Exempel 1
Figur 7 visar ett fönster färdigt i en snittad cirkelbåge. Mått som visas i figuren är i fötter. Hitta bågens längd.
Bild 7. Beräkning av längden på cirkulärbågen i ett fönster. (Egna kommentarer - fönsterbild på Pixabay)
För att få centrum och radie för fönsterlinsens cirkulära båge, görs följande konstruktioner på bilden:
-Segmentet KL är ritat och dess halvdel dras.
-Då är den högsta punkten på överliggande beläggning, som vi kallar M. Därefter, betraktas KM-segmentet och dess mediatrix ritas.
De två bisektorns skärningspunkt är punkt N och det är också centrum för cirkelbågen.
-Nu måste vi mäta längden på NM-segmentet, som sammanfaller med cirkelbågens radie R: R = 2,8 fot.
-För att veta bågens längd utöver radien är det nödvändigt att känna till vinkeln som bågen bildar. Vilket kan bestämmas med två metoder, antingen mäts det med en gradskiva eller alternativt beräknas det med trigonometri.
I det visade fallet är vinkeln bildad av bågen 91,13 º, som måste omvandlas till radianer:
91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radianer
Slutligen beräknar vi bågens längd med formeln s = α R.
s = 1,59 * 2,8 fot = 4,45 fot
Exempel 2
Hitta längden på den elliptiska bågen som visas i figur 8, känna till halv-huvudaxeln r och halvmollaxeln s på ellipsen.
Bild 8. Elliptisk båge mellan GH. Beredd av Ricardo Pérez.
Att hitta längden på en ellips var ett av de svåraste problemen i matematiken på länge. Du kan få lösningar uttryckta med elliptiska integraler men för att ha ett numeriskt värde måste du utöka dessa integraler i kraftserier. Ett exakt resultat kräver oändliga termer för dessa serier.
Lyckligtvis hittade den hinduiska matematiska genien Ramanujan, som levde mellan 1887 och 1920, en formel som mycket exakt beräknar omkretsen av en ellips:
Omkretsen av en ellips med r = 3 cm och s = 2,24 cm är 16,55 cm. Den elliptiska bågen som visas har emellertid halva värdet:
Längd på den elliptiska bågen GH = 8,28 cm.
referenser
- Clemens S. 2008. Geometry and Trigonometry. Pearson Education.
- García F. Numeriska procedurer i Java. Längd på en ellips. Återställd från: sc.ehu.es
- Dynamisk geometri. Bågar. Återställdes från geometriadinamica.es
- Piziadas. Ellipser och parabolor runt omkring oss. Återställd från: piziadas.com
- Wikipedia. Båge (geometri). Återställd från: es.wikipedia.com