SANNOLIKHETSAXIOMER: TYPER, FÖRKLARING, EXEMPEL, ÖVNINGAR - DUDAS

De axiom av sannolikhet är matematiska propositioner som hänvisar till teorin om sannolikhet, som inte förtjänar bevis. Axiomerna upprättades 1933 av den ryska matematikern Andrei Kolmogorov (1903-1987) i hans Fundament of Probability Theory och lägger grunden för den matematiska studien av sannolikhet.

Vid genomförande av ett visst slumpmässigt experiment ξ är provutrymmet E uppsättningen av alla möjliga resultat av experimentet, även kallad händelser. Varje händelse betecknas som A och P (A) är sannolikheten för att det inträffar. Då konstaterade Kolmogorov att:

Figur 1. Axiomerna för sannolikhet gör det möjligt för oss att beräkna sannolikheten för att träffa hasardspel såsom roulette. Källa: Pixabay.

- Axiom 1 (icke-negativitet) : sannolikheten för att någon händelse A inträffar är alltid positiv eller noll, P (A) ≥0. När sannolikheten för en händelse är 0 kallas den en omöjlig händelse.

- Axiom 2 (säkerhet) : när någon händelse som tillhör E är dess sannolikhet för inträffande 1, vilket vi kan uttrycka som P (E) = 1. Detta är känt som en viss händelse eftersom det verkligen är ett resultat när man genomför ett experiment.

- Axiom 3 (tillägg) : vid två eller flera oförenliga händelser två för två, kallad A ₁ , A ₂ , A ₃ …, är sannolikheten att händelsen A ₁ plus A ₂ plus A _{3 kommer att} inträffa och så vidare successivt är det summan av sannolikheten för att varje sker separat.

Detta uttrycks som: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

Bild 2. Den anmärkningsvärda ryska matematikern Andrei Kolmogorov (1903-1987), som lagt grunden för axiomatisk sannolikhet. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel

Sannolikhetens axiomer används ofta i en mängd applikationer. Till exempel:

En häftstift eller klibb kastas i luften, och när det faller på golvet finns det möjlighet att landa med punkten upp (U) eller med punkten ner (D) (vi kommer inte att överväga andra möjligheter). Exempelutrymmet för detta experiment består av dessa händelser, sedan E = {U, D}.

Figur 3. I experimentet med att kasta tackan finns det två händelser med olika sannolikheter: landa med punkten uppåt eller mot marken. Källa: Pixabay.

Genom att använda axiomerna har vi:

Om det är lika sannolikt att landa upp eller ner, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Emellertid kan konstruktionen och utformningen av stiftet göra det mer troligt att det faller på ett eller annat sätt. Till exempel kan det vara så att P (U) = ¾ medan P (D) = ¼ (Axiom 1).

Observera att i båda fallen ger summan av sannolikheterna 1. Axiomerna indikerar emellertid inte hur sannolikheterna ska tilldelas, åtminstone inte helt. Men de anger att de är siffror mellan 0 och 1 och att som i det här fallet är summan av alla 1.

Sätt att tilldela sannolikhet

Sannolikens axiomer är inte ett sätt att tilldela sannolikhetsvärdet. För detta finns det tre alternativ som är kompatibla med axiomerna:

Laplaces regel

Varje händelse tilldelas samma sannolikhet att inträffa, då definieras sannolikheten för inträffande som:

Till exempel, vad är sannolikheten för att dra ett ess från ett kort med franska kort? Däck har 52 kort, 13 av varje färg och det finns 4 kostymer. Varje kostym har 1 ess, så totalt finns det 4 ess:

P (som) = 4/52 = 1/13

Laplaces regel är begränsad till begränsade provutrymmen, där varje händelse är lika sannolik.

Relativ frekvens

Här måste experimentet vara repeterbart, eftersom metoden är baserad på att utföra ett stort antal repetitioner.

Låt oss göra i upprepningar av experimentet ξ, av vilka vi finner att n är antalet gånger som en viss händelse A inträffar, då är sannolikheten för att denna händelse inträffar:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Där n / i är den relativa frekvensen för en händelse.

Att definiera P (A) på detta sätt tillfredsställer Kolmogorovs axiomer, men har nackdelen att många test måste utföras för att sannolikheten ska vara lämplig.

Subjektiv metod

En person eller en grupp människor kan komma överens om att tilldela sannolikhet till en händelse genom sin egen bedömning. Denna metod har nackdelen att olika personer kan tilldela olika sannolikheter till samma händelse.

Träningen löst

I experimentet med att kasta 3 ärliga mynt samtidigt, få sannolikheterna för de beskrivna händelserna:

a) 2 huvuden och en svans.

b) 1 huvud och två svansar

c) 3 kors.

d) Minst 1 ansikte.

Lösning till

Huvudena betecknas av C och svansarna av X. Men det finns flera sätt att få två huvuden och en svans. Till exempel kan de två första mynten landa huvuden och den tredje kan landa svansar. Eller den första kan falla huvuden, den andra svansarna och den tredje huvuden. Och slutligen kan det första vara svansar och de återstående huvuden.

För att svara på frågorna är det nödvändigt att känna till alla möjligheter som beskrivs i ett verktyg som kallas ett träddiagram eller sannolikhetsträd:

Bild 4. Träddiagram för samtidig kast av tre ärliga mynt. Källa: F. Zapata.

Sannolikheten för att något mynt kommer att vara huvuden är ½, detsamma gäller för svansar, eftersom myntet är ärligt. Den högra kolumnen listar alla möjligheter som kastet har, det vill säga provutrymmet.

Från provutrymmet väljs de kombinationer som svarar på den begärda händelsen eftersom ordningen i vilka ansiktena inte är viktig. Det finns tre gynnsamma händelser: CCX, CXC och XCC. Sannolikheten för att varje händelse händer är:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Samma sak händer för CXC- och XCC-händelserna, var och en har 1/8 sannolikhet att hända. Därför är sannolikheten för att få exakt två huvuden summan av sannolikheten för alla gynnsamma händelser:

P (2-sidigt) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Lösning b

Att hitta sannolikheten för att exakt två kors inträffar är ett problem som är analogt med det föregående, det finns också tre gynnsamma händelser tagna från provutrymmet: CXX, XCX och XXC. Således:

P (2 kors) = 3/8 = 0,375

Lösning c

Intuitivt vet vi att sannolikheten för att få tre svansar (eller 3 huvuden) är lägre. I detta fall är den begärda händelsen XXX i slutet av den högra kolumnen, vars sannolikhet är:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Lösning d

Det uppmanas att erhålla minst 1 ansikte, det betyder att 3 ansikten, 2 ansikten eller 1 ansikte kan komma ut. Den enda oförenliga händelsen med detta är den där 3 svansar kommer ut, vars sannolikhet är 0,125. Därför är den sökta sannolikheten:

P (minst 1 huvud) = 1 - 0,125 = 0,875.

referenser

Canavos, G. 1988. Sannolikhet och statistik: Tillämpningar och metoder. McGraw Hill.
Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. 8:e. Utgåva. Cengage.
Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
Obregón, I. 1989. Teorin om sannolikhet. Redaktionell Limusa.
Walpole, R. 2007. Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap. Pearson.

SANNOLIKHETSAXIOMER: TYPER, FÖRKLARING, EXEMPEL, ÖVNINGAR - DUDAS - 2025