Det kallas relativt prime (coprime eller är relativt prime till varandra) för alla heltal har ingen gemensam divisor än 1.
Med andra ord, två heltal är relativa primes om de inte har någon gemensam faktor i deras sönderdelning till primtal.
Till exempel, om 4 och 25 väljs, är de primära faktoriseringarna för var och en av respektive 2² och 5². Som framgår har dessa inga vanliga faktorer, därför är 4 och 25 relativa primes.
Å andra sidan, om 6 och 24 väljs, när vi utför deras sönderdelning i primära faktorer, får vi att 6 = 2 * 3 och 24 = 2³ * 3.
Som ni ser har dessa två sista uttryck åtminstone en faktor gemensamt, därför är de inte relativa primes.
Relativa kusiner
En detalj att vara försiktig med är att att säga att ett heltal är relativa primits betyder inte att någon av dem är ett primtal.
Å andra sidan kan definitionen ovan sammanfattas enligt följande: två heltal "a" och "b" är relativa primes om, och bara om, den största gemensamma delaren av dessa är 1, det vill säga gcd ( a, b) = 1.
Två omedelbara slutsatser från denna definition är att:
-Om «a» (eller «b») är ett primtal är gcd (a, b) = 1.
-Om «a» och «b» är primtal är gcd (a, b) = 1.
Det vill säga, om åtminstone ett av de valda siffrorna är ett primtal, är antalet par direkt relationer.
Andra funktioner
Andra resultat som används för att bestämma om två siffror är relativa primes är:
-Om två heltal är i följd är de relativa primes.
-Två naturliga siffror "a" och "b" är relativa primes om, och endast om siffrorna "(2 ^ a) -1" och "(2 ^ b) -1" är relativa primes.
-Två heltal «a» och «b» är relativa primes om, och endast om, när man graferar punkten (a, b) i det kartesiska planet, och konstruerar linjen som passerar genom ursprunget (0,0) och ( a, b), den innehåller inte någon punkt med heltalskoordinater.
exempel
1.- Betrakta heltal 5 och 12. Nedbrytningarna i primära faktorer för båda siffrorna är: 5 respektive 2² * 3. Sammanfattningsvis är gcd (5,12) = 1, därför är 5 och 12 relativa primes.
2.- Låt siffrorna -4 och 6. Sedan -4 = -2² och 6 = 2 * 3, så att LCD-skärmen (-4,6) = 2 ≠ 1. Sammanfattningsvis är -4 och 6 inte relativa primes.
Om vi fortsätter med att kartlägga linjen som passerar genom de ordnade paren (-4.6) och (0,0) och för att bestämma ekvationen för nämnda linje kan det verifieras att den passerar genom punkten (-2,3).
Återigen dras slutsatsen att -4 och 6 inte är relativa primes.
3.- Siffrorna 7 och 44 är relativa primes och det kan snabbt sluts tack vare vad som har sagts ovan, eftersom 7 är ett primtal.
4.- Tänk på siffrorna 345 och 346. Som två på varandra följande nummer verifieras det att gcd (345,346) = 1, därför är 345 och 346 relativa primes.
5.- Om siffrorna 147 och 74 beaktas är dessa relativa primes, eftersom 147 = 3 * 7² och 74 = 2 * 37, därför är LCD-skärmen (147,74) = 1.
6.- Siffrorna 4 och 9 är relativa primes. För att demonstrera detta kan den andra karaktäriseringen som nämns ovan användas. Faktum är att 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 och 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
De erhållna siffrorna är 15 och 511. De primära faktoriseringarna för dessa nummer är 3 * 5 respektive 7 * 73, så att gcd (15,511) = 1.
Som du ser är att använda den andra karaktären ett längre och mer arbetskrävande jobb än att verifiera det direkt.
7.- Tänk på siffrorna -22 och -27. Sedan kan dessa nummer skrivas om på följande sätt: -22 = -2 * 11 och -27 = -3³. Därför är gcd (-22, -27) = 1, så -22 och -27 relativa primes.
referenser
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion till nummerteori. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetiska element. Calleja änkar och barn bibliotek.
- Castañeda, S. (2016). Grundläggande kurs i talteori. Northern University.
- Guevara, MH (nd). Uppsättningen med hela siffror. EUNED.
- Higher Institute of Teacher Training (Spain), JL (2004). Antal, former och volymer i barnets miljö. Undervisningsministeriet.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktisk matematik: aritmetik, algebra, geometri, trigonometri och slidregel (omtryckt red.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så enkelt. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearson Education.
- Szecsei, D. (2006). Grundläggande matematik och pre-algebra (illustrerad red.). Karriärpress.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2: a matematikkursen. Redaktörsprogreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Grundläggande principer för aritmetik. ELIZCOM SAS