KURTOSIS: DEFINITION, TYPER, FORMLER, VAD DET ÄR TILL EXEMPEL - DUDAS - 2025

Den kurtosis eller kurtosis är en statistisk parameter som används för att karaktärisera den sannolika fördelningen av en slumpvariabel, som anger graden av koncentration av de värden runt den centrala åtgärden. Detta är också känt som "toppklass."

Termen kommer från det grekiska "kurtos", vilket betyder båge, därför indikerar kurtos graden av pekning eller utplattning av fördelningen, som framgår av följande figur:

Figur 1. Olika typer av kurtos. Källa: F. Zapata.

Nästan alla värden på en slumpmässig variabel tenderar att klustera runt ett centralt värde som medelvärdet. Men i vissa fördelningar är värdena mer spridda än i andra, vilket resulterar i plattare eller smalare kurvor.

Definition

Kurtos är ett numeriskt värde som är typiskt för varje frekvensfördelning, som enligt koncentrationen av värdena runt medelvärdet klassificeras i tre grupper:

- Leptokurtisk: i vilken värdena är mycket grupperade runt medelvärdet, så fördelningen är ganska spetsig och smal (figur 1 till vänster).

- Mesocúrtic: det har en måttlig koncentration av värden runt medelvärdet (figur 1 i mitten).

- Platicúrtica: denna distribution har en bredare form, eftersom värdena tenderar att vara mer spridda (figur 1 till höger).

Formler och ekvationer

Kurtos kan ha valfritt värde utan begränsningar. Beräkningen utförs beroende på hur informationen levereras. Notationen som används i båda fallen är följande:

-Koefficient för kurtos: g ₂

-Armetmetiskt medelvärde: X eller x med bar

-Ett i-värde: x _i

-Standardavvikelse: σ

-Antalet data: N

-Frekvensen för det i-te värdet: f _i

-Klassmärke: mx _i

Med denna notering presenterar vi några av de mest använda formlerna för att hitta kurtos:

- Kurtosis enligt presentationen av uppgifterna

Data inte grupperade eller grupperade i frekvenser

Data grupperas i intervaller

Överskott kurtos

Även kallad Fishers inriktningskoefficient eller Fishers mått används för att jämföra distributionen som studeras med den normala fördelningen.

När överskottet av kurtos är 0 är vi i närvaro av en normalfördelning eller Gaussisk klocka. På detta sätt jämför vi faktiskt den överdrivna kurtos av en distribution, jämför vi den med den normala fördelningen.

För både ogrupperade och poolade data är Fishers pekningskoefficient, betecknad med K,:

K = g ₂ - 3

Nu kan det visas att kurtos för normalfördelningen är 3, därför att Fisher-mål-koefficienten är 0 eller nära 0 och det finns en mesokúrtisk fördelning. Om K> 0 är distributionen leptokurtisk och om K <0 är den platicúrtisk.

Vad är kurtos för?

Kurtos är ett mått på variationer som används för att karakterisera morfologin för en distribution. På detta sätt kan symmetriska fördelningar med samma genomsnitt och samma spridning (ges av standardavvikelsen) jämföras.

Att ha mått på variationer garanterar att medelvärdena är tillförlitliga och hjälper kontrollen för variationer i distributionen. Låt oss som exempel titta på dessa två situationer.

Lönerna för 3 avdelningar

Anta att följande graf visar lönefördelningarna för 3 avdelningar i samma företag:

Figur 2. Tre fördelningar med olika kurtos illustrerar praktiska situationer. (Utarbetad av Fanny Zapata)

Kurva A är den smalaste av alla, och från sin form kan man dra slutsatsen att de flesta av lönen för den avdelningen ligger mycket nära genomsnittet, därför får de flesta av de anställda en liknande ersättning.

I avdelning B följer lönekurvan på sin normala fördelning, eftersom kurvan är mesokurtisk, där vi antar att lönen fördelades slumpmässigt.

Och slutligen har vi kurva C som är väldigt platt, ett tecken på att i denna avdelning är lönesegmentet mycket bredare än i de andra.

Resultaten av en tentamen

Anta nu att de tre kurvorna i figur 2 representerar resultaten av en tentamen som tillämpas på tre grupper av studenter av samma ämne.

Gruppen vars betyg representeras av A leptokurtisk kurva är ganska homogen, majoriteten erhöll ett genomsnittligt eller nära betyg.

Det är också möjligt att resultatet berodde på att testfrågorna hade mer eller mindre samma svårighetsgrad.

Å andra sidan indikerar resultaten från grupp C en större heterogenitet i gruppen, som antagligen innehåller medelstudenter, några mer avancerade studenter och säkert samma mindre uppmärksamma.

Eller det kan betyda att testfrågorna hade mycket olika svårighetsgrader.

Kurva B är mesokutisk, vilket tyder på att testresultaten följde en normal distribution. Detta är vanligtvis det vanligaste fallet.

Exempel på kurtos

Hitta Fishers poängskoefficient för följande betyg, erhållna i en fysikexamen till en grupp studenter, med en skala från 1 till 10:

Lösning

Följande uttryck kommer att användas för icke-grupperade data som ges i de föregående avsnitten:

K = g ₂ - 3

Detta värde låter dig veta typen av distribution.

För att beräkna g _{2 Det} är lämpligt att göra det på ett ordnat sätt, steg för steg, eftersom flera aritmetiska operationer måste lösas.

Steg 1

Först beräknas medelvärdet av betyg. Det finns N = 11 data.

Steg 2

Standardavvikelsen hittas, för vilken denna ekvation används:

σ = 1,992

Eller så kan du också bygga en tabell, som också krävs för nästa steg och där varje term i de sammanfattningar som behövs skrivs, börjar med (x _i - X), sedan (x _i - X) ² och sedan (x _i - X) ⁴ :

Steg 3

Utför summan som anges i räknaren med formeln för g ₂ . För detta används resultatet av den högra kolumnen i föregående tabell:

Σ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Således:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

Fishers pekningskoefficient är:

K = g _två till - 3 = 1,675-3 = -1,325

Det som är av intresse är tecknet på resultatet, som, negativt, motsvarar en platicúrtisk fördelning, som kan tolkas som gjordes i föregående exempel: kanske är det en heterogen kurs med studenter av olika intressegrader eller examensfrågorna var av olika svårighetsnivåer.

Användningen av ett kalkylblad som Excel underlättar i hög grad lösningen av dessa typer av problem och erbjuder också möjligheten att grafera distributionen.

referenser

1. Levin, R. 1988. Statistik för administratörer. 2:a. Utgåva. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Återställs från: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetri och kurtos. Återställd från: statististicaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Beslutsfattande i ledning. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Återställd från: en.wikipedia.org.