En surktiv funktion är varje relation där varje element som tillhör kodomänen är en bild av minst ett element i domänen. Även känd som en kuvertfunktion , de ingår i klassificeringen av funktioner med avseende på hur deras element är relaterade.

Till exempel en funktion F: A → B definierad av F (x) = 2x

Som läses " F som går från A till B definierad av F (x) = 2x"

Du måste definiera start- och slutuppsättningarna A och B.

S: {1, 2, 3, 4, 5} Nu kommer värdena eller bilderna som vart och ett av dessa element ger när de utvärderas i F att vara elementen i codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Således bildar uppsättningen B: {2, 4, 6, 8, 10}

Det kan då dras slutsatsen att:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definierad av F (x) = 2x Det är en objektiv funktion

Varje element i codomain måste vara resultatet av minst en operation av den oberoende variabeln genom den aktuella funktionen. Det finns ingen begränsning av bilder, ett element i codomain kan vara en bild av mer än ett element i domänen och fortfarande försöka en objektiv funktion .

I bilden visas två exempel med subjektiva funktioner .

Källa: Författare

I det första är det observeras att bilderna kan hänvisas till samma element, utan att äventyra surjectivity av funktionen.

I det andra ser vi en rättvis fördelning mellan domän och bilder. Detta ger upphov till den bijektiva funktionen , där kriterierna för injektiv funktion och surektiv funktion måste uppfyllas .

En annan metod för att identifiera subjektiva funktioner är att verifiera om codomain är lika med funktionens rang. Detta innebär att om ankomstuppsättningen är lika med de bilder som tillhandahålls av funktionen vid utvärderingen av den oberoende variabeln, är funktionen surektiv.

Egenskaper

Att tänka på en funktion surjektiv måste följande uppfyllas:

Låt F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Detta är det algebraiska sättet att fastställa att för varje "b" som tillhör _Cf finns det ett "a" som tillhör _Df så att funktionen F utvärderad vid "a" är lika med "b".

Surjectivity är en egenhet av funktioner, där codomain och intervall är lika. Således utgör de element som utvärderas i funktionen ankomstuppsättningen.

Funktionskonditionering

Ibland kan en funktion som inte är objektiv underkastas vissa villkor. Dessa nya förhållanden kan göra det till en objektiv funktion.

Alla typer av ändringar av funktionens domän och codomain är giltiga, där målet är att uppfylla övergripande egenskaper i motsvarande relation.

Exempel: lösta övningar

För att uppfylla överlevnadsförhållandena måste olika konditioneringstekniker tillämpas, detta för att säkerställa att varje element i kodomänen ligger inom uppsättningen bilder av funktionen.

Övning 1

• Låt funktionen F: R → R definieras av linjen F (x) = 8 - x

A:

Källa: författare

I det här fallet beskriver funktionen en kontinuerlig linje, som inkluderar alla verkliga siffror i både dess domän och område. Eftersom intervallet för funktionen R _f är lika med Målmängd R kan slutsatsen dras att:

F: R → R definierad av linjen F (x) = 8 - x är en surektiv funktion.

Detta gäller alla linjära funktioner (funktioner vars högsta grad av variabeln är en).

Övning 2

• Studera funktionen F: R → R definierad av F (x) = x ² : Definiera om det är en objektiv funktion . Om inte, visa förutsättningarna för att göra det objektivt.

Källa: författare

Det första att ta hänsyn till är codomainen för F , som består av de verkliga siffrorna R. Det finns inget sätt för funktionen att ge negativa värden, vilket utesluter negativa realer från de möjliga bilderna.

Konditionering av codomain till intervallet. Det undviks att lämna delar av codomainen inte relaterade till F.

Bilderna upprepas för par av element i den oberoende variabeln, till exempel x = 1 och x = - 1. Men detta påverkar bara funktionens injektivitet och är inte ett problem för den här studien.

På detta sätt kan man dra slutsatsen att:

F: R → . Detta intervall måste konditionera codomain för att uppnå övergripande funktion.

F: R → definieras av F (x) = Sen (x) Det är en objektiv funktion

F: R → definieras av F (x) = Cos (x) Det är en objektiv funktion

Övning 4

• Studera funktionen

F :) .push ({});

Källa: Författare

Funktionen F (x) = ± √x har den specificiteten att den definierar 2 beroende variabler vid varje värde på "x". Det vill säga att intervallet tar emot två element för var och en som görs i domänen. Ett positivt och negativt värde måste verifieras för varje värde på "x".

När man observerar startuppsättningen noteras att domänen redan har varit begränsad, detta för att undvika de obestämdheter som produceras vid utvärdering av ett negativt tal inom en jämn rot.

Vid kontroll av funktionsintervallet noteras att varje värde på kodmän tillhör området.

På detta sätt kan man dra slutsatsen att:

F: [0, ∞ ) → R definierad av F (x) = ± √x Det är en objektiv funktion

Övning 4

• Studera funktionen F (x) = Ln x betecknar om det är en objektiv funktion . Villkor för ankomst- och avgångsuppsättningarna för att anpassa funktionen till övergripande kriterier.

Källa: Författare

Som visas i diagrammet definieras funktionen F (x) = Ln x för värden på "x" större än noll. Medan värdena på "och" eller bilderna kan ta något verkligt värde.

På detta sätt kan vi begränsa domänen till F (x) = till intervallet (0, ∞ )

Så länge funktionens räckvidd kan hållas som uppsättningen med verkliga siffror R.

Med tanke på detta kan man dra slutsatsen att:

F: [0, ∞ ) → R definierad av F (x) = Ln x Det är en objektiv funktion

Övning 5

• Studera funktionen absolutvärde F (x) = - x - och ange ankomst- och avgångsuppsättningarna som uppfyller kriterierna för överlevnad.

Källa: Författare

Funktionens domän uppfylls för alla verkliga siffror R. På detta sätt måste den enda konditioneringen utföras i codomainen, med hänsyn till att funktionen för absolutvärde endast tar positiva värden.

Vi fortsätter med att fastställa codomain för funktionen som är lika med samma rang

[0, ∞ )

Nu kan man dra slutsatsen att:

F: [0, ∞ ) → R definierad av F (x) = - x - Det är en surektiv funktion

Föreslagna övningar

1. Kontrollera om följande funktioner är exakta:

• F: (0, ∞ ) → R definierad av F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definierad av F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) definierat av F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definierad av F (x) = Logg (2x + 3)
• F: R → R definierad av F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definierad av F (x) = 1 / x

referenser

1. Introduktion till logik och kritiskt tänkande. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problem i matematisk analys. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Element av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduktion till logik och metodiken för deduktiva vetenskaper. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principer för matematisk analys. Enrique Linés Escardó. Redaktör Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.