- Exempel på grad av polynom
- Tabell 1. Exempel på polynomier och deras grader
- Förfarande för arbete med polynomier
- Beställ, reducera och fullborda ett polynom
- Betydelsen av graden av ett polynom i tillägg och subtraktion
- Lösta övningar
- - Träning löst 1
- Lösning
- - Träning löst 2
- Lösning
- referenser
Den polynomgrad i en variabel ges av termen som har störst exponenten, och om polynomet har två eller flera variabler, då graden bestäms av summan av exponenterna för varje term, desto större summa är graden av polynomet.
Låt oss se hur man bestämmer graden av polynomet på ett praktiskt sätt.
Figur 1. Einsteins berömda ekvation för energi E är ett monomium med absolut grad 1 för den variabla massan, betecknad med m, eftersom ljusets hastighet anses konstant. Källa: Piqsels.
Anta att polynomet P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Denna polynom är en variabel, i detta fall är den variabeln x. Detta polynom består av flera termer, som är följande:
Och vad är nu exponenten? Svaret är 3. Därför är P (x) ett polynom i grad 3.
Om det ifrågavarande polynomet har mer än en variabel, kan graden vara:
-Absolut
-I relation till en variabel
Den absoluta graden finns som förklarats i början: lägga till exponenterna för varje term och välja den största.
I stället är graden av polynomet med avseende på en av variablerna eller bokstäverna det största värdet på exponenten som nämnda brev har. Punkten kommer att bli tydligare med exemplen och lösta övningar i följande avsnitt.
Exempel på grad av polynom
Polynomier kan klassificeras efter examen och kan vara första graden, andra graden, tredje graden och så vidare. För exemplet i figur 1 är energi en monomial för första graden för massa.
Det är också viktigt att notera att antalet termer som ett polynom har är lika med grad plus 1. Således:
-Första grad polynom har två termer: a 1 x + a o
-Polynomet i andra graden har 3 termer: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Ett tredje gradens polynom har 4 termer: en 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a eller
Och så vidare. Den noggranna läsaren kommer att ha märkt att polynomema i de tidigare exemplen är skrivna i minskande form, det vill säga att termen placeras först med största grad.
Följande tabell visar olika polynomier, både av en och flera variabler och deras respektive absoluta grader:
Tabell 1. Exempel på polynomier och deras grader
| Polynom | Grad |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | ett |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 och 5 + 5x 2 och 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
De två sista polynomema har mer än en variabel. Av dessa har termen med den högsta absoluta graden lyfts fram i fetstil, så att läsaren snabbt kan kontrollera graden. Det är viktigt att komma ihåg att när variabeln inte har en skriftlig exponent förstås det att sagda exponent är lika med 1.
Till exempel, i den markerade termen ab 3 x 2 finns det tre variabler, nämligen: a, b och x. I den här termen höjs a till 1, det vill säga:
a = a 1
Därför är ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Eftersom exponenten för b är 3 och den för x är 2, följer det omedelbart att graden av denna term är:
1 + 3 + 2 = 6
Y är den absoluta graden av polynomet, eftersom ingen annan term har en högre grad.
Förfarande för arbete med polynomier
När du arbetar med polynom är det viktigt att uppmärksamma graden, eftersom det först och innan du utför någon operation är det bekvämt att följa dessa steg, där graden ger mycket viktig information:
-För att föredra polynomet i minskande riktning. Således är termen med den högsta graden till vänster och termen med den lägsta graden är till höger.
-Reducera liknande termer, en procedur som består i att algebraiskt lägga till alla termer för samma variabel och grad som finns i uttrycket.
-Om nödvändigt är polynomema kompletterade och infog termer vars koefficient är 0, om det saknas termer med en exponent.
Beställ, reducera och fullborda ett polynom
Med tanke på polynomet P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, ombeds att beställa det i fallande ordning, minska liknande termer om det finns några och slutföra de saknade termerna om korrekt.
Det första man letar efter är termen med den största exponenten, som är graden av polynomet, som visar sig vara:
x 7
Därför är P (x) av grad 7. Därefter ordnas polynomet, börjar med denna term till vänster:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Nu reduceras liknande villkor, vilket är följande: - 2x och 3x å ena sidan. Och 7 och -12 å andra sidan. För att minska dem läggs koefficienterna algebraiskt till och variabeln lämnas oförändrad (om variabeln inte visas bredvid koefficienten, kom ihåg att x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Byt ut dessa resultat i P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Och slutligen granskas polynomet för att se om någon exponent saknas och faktiskt, en term vars exponent är 6 saknas, därför kompletteras den med nollor som denna:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nu observeras att polynomet låg kvar med 8 termer, eftersom antalet termer som sagt tidigare är lika med grad + 1.
Betydelsen av graden av ett polynom i tillägg och subtraktion
Med polynomier kan du utföra adderings- och subtraktionsoperationer, där bara lika termer läggs till eller subtraheras, vilket är de med samma variabel och samma grad. Om det inte finns liknande termer indikeras tillägg eller subtraktion helt enkelt.
När tillsatsen eller subtraktionen har genomförts, varvid den senare är summan av motsatsen, är graden av det resulterande polynomet alltid lika med eller mindre än graden av polynomet som lägger till den högsta graden.
Lösta övningar
- Träning löst 1
Hitta följande summa och bestäm den absoluta graden:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Lösning
Det är ett polynom med två variabler, så det är bekvämt att minska liknande termer:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Båda termerna är av grad 3 i varje variabel. Därför är den absoluta graden av polynomet 3.
- Träning löst 2
Uttryck området för följande plan geometriska figur som ett polynom (figur 2 till vänster). Vilken är graden av det resulterande polynomet?
Figur 2. Till vänster, figuren för den lösta övningen 2 och till höger, samma figur sönderdelas i tre områden vars uttryck är känt. Källa: F. Zapata.
Lösning
Eftersom det är ett område måste det resulterande polynomet vara av grad 2 i variabeln x. För att bestämma ett lämpligt uttryck för området sönderdelas figuren till kända områden:
Området för en rektangel och en triangel är respektive: bas x höjd och bas x höjd / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Obs : triangelns bas är 3x - x = 2x och dess höjd är 5.
Nu läggs de tre uttryck som erhålls till, med detta har vi området för figuren som en funktion av x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
referenser
- Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Kulturella Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Books. Polynom. Återställd från: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grad (polynom). Återställd från: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.