MATEMATISK LOGIK: URSPRUNG, VAD DEN STUDERAR, TYPER - MATTE - 2025

Den matematiska logiken eller den symboliska logiken är ett matematiskt språk som täcker de verktyg genom vilka man kan bekräfta eller förneka ett matematiskt resonemang.

Det är välkänt att det inte finns några oklarheter i matematik. Med ett matematiskt argument är det antingen giltigt eller så är det helt enkelt inte. Det kan inte vara falskt och sant samtidigt.

En speciell aspekt av matematiken är att den har ett formellt och strikt språk genom vilket argumentets giltighet kan fastställas. Vad är det som gör ett visst resonemang eller något matematiskt bevis oåterkalleligt? Det är vad matematisk logik handlar om.

Således är logik matematikens disciplin som ansvarar för att studera matematiska resonemang och bevis, och tillhandahålla verktyg för att kunna dra en riktig slutsats från tidigare uttalanden eller förslag.

För att göra detta används axiomer och andra matematiska aspekter som kommer att utvecklas senare.

Ursprung och historia

De exakta datumen för många aspekter av matematisk logik är osäkra. De flesta av bibliografierna om ämnet spårar dock sitt ursprung till antika Grekland.

Aristoteles

Början av den rigorösa behandlingen av logik tillskrivs delvis Aristoteles, som skrev en uppsättning logikverk, som senare sammanställdes och utvecklades av olika filosofer och forskare, fram till medeltiden. Detta kan betraktas som "den gamla logiken".

Senare, i det som kallas samtiden, rördes Leibniz av en djup önskan att etablera ett universellt språk att resonera matematiskt, och andra matematiker som Gottlob Frege och Giuseppe Peano påverkade särskilt utvecklingen av matematisk logik med stora bidrag bland dem Peano Axioms, som formulerar oumbärliga egenskaper hos naturliga nummer.

Matematiker George Boole och Georg Cantor var också av stort inflytande vid denna tidpunkt, med viktiga bidrag i uppsättningsteorier och sanningstabeller, som bland annat lyfte fram Boolean Algebra (av George Boole) och Axiom of Choice (av George Cantor).

Det finns också Augustus De Morgan med de välkända Morgan-lagarna, som överväger negationer, konjunktioner, skillnader och villkor mellan förslag, nycklar till utvecklingen av symbolisk logik och Jhon Venn med de berömda Venn-diagrammen.

På 1900-talet, ungefär mellan 1910 och 1913, sticker Bertrand Russell och Alfred North Whitehead ut med sin publicering av Principia mathematica, en uppsättning böcker som samlar, utvecklar och postulerar en serie axiomer och resultat av logik.

Vad gör matematisk logikstudie?

propositioner

Matematisk logik börjar med att studera förslag. Ett förslag är ett uttalande som kan sägas utan någon tvetydighet om det är sant eller inte. Följande är exempel på förslag:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• 1930 inträffade en jordbävning i Europa.

Den första är ett riktigt uttalande och det andra är ett felaktigt uttalande. Den tredje, även om den som läser den kanske inte vet om det är sant eller omedelbart, är ett uttalande som kan testas och bestämmas om det verkligen har hänt.

Följande är exempel på uttryck som inte är förslag:

• Hon är blond.
• 2x = 6.
• Låt oss spela!
• Gillar du filmer

I det första förslaget anges inte vem "hon" är, därför kan ingenting bekräftas. I det andra förslaget har vad "x" representerar inte specificerats. Om man istället sade att 2x = 6 för något naturligt antal x, skulle det i detta fall motsvara ett förslag, i själva verket sant, eftersom det för x = 3 är uppfyllt.

De två sista uttalandena motsvarar inte ett förslag, eftersom det inte finns något sätt att förneka eller bekräfta dem.

Två eller flera förslag kan kombineras (eller anslutas) med välkända logiska anslutningar (eller anslutningar). Dessa är:

• Förnekande: "Det regnar inte."
• Disjunktion: "Luisa köpte en vit eller grå väska."
• Konjunktion: "4 ² = 16 och 2 × 5 = 10".
• Villkorligt: ​​"Om det regnar, kommer jag inte till gymmet i eftermiddag."
• Biconditional: "Jag går till gymmet i eftermiddag om, och bara om det inte regnar."

Ett förslag som inte har något av de tidigare anslutningarna kallas ett enkelt (eller atomiskt) förslag. Till exempel är "2 är mindre än 4" ett enkelt förslag. De förslag som har vissa kopplingar kallas sammansatta förslag, till exempel "1 + 3 = 4 och 4 är ett jämnt tal."

Uttalanden gjorda med förslag är vanligtvis långa, så det är tråkigt att alltid skriva dem så långt som de hittills sett. Av detta skäl används ett symboliskt språk. Förslag representeras vanligtvis av versaler som P, Q, R, S, etc. Och de symboliska anslutningarna enligt följande:

Så att

Det omvända av en villkorad proposition

är förslaget

Och det motsatta och ömsesidiga (eller kontrapositiva) av ett förslag

är förslaget

Sanningstabeller

Ett annat viktigt begrepp i logiken är sanningstabellerna. Sanningsvärdena för en proposition är de två möjligheterna för en proposition: true (som kommer att betecknas av V och det sägs att dess sanningsvärde är V) eller falskt (som kommer att betecknas av F och det sägs att dess värde är verkligen F).

Sanningsvärdet för ett sammansatt förslag beror uteslutande på sanningsvärdena för de enkla förslagen som förekommer i den.

För att arbeta på ett mer generellt sätt kommer vi inte att beakta specifika förslag, utan propositionella variabler p, q, r, s, etc., som kommer att representera alla förslag.

Med dessa variabler och de logiska anslutningarna formas de välkända propositionformlerna precis som sammansatta propositioner byggs.

Om var och en av variablerna som visas i en proposition är en proposition, erhålls en sammansatt proposition.

Nedan följer sanningstabellerna för logiska anslutningar:

Det finns propositionella formler som endast får värdet V i deras sanningstabell, det vill säga den sista kolumnen i deras sanningstabell har bara värdet V. Dessa typer av formler kallas tautologier. Till exempel:

Följande är sanningstabellen med formeln

En formel a sägs logiskt innebära en annan formel ß, om a är sant varje gång ß är sant. Det vill säga i sanningstabellen för α och β, raderna där α har en V, β har också en V. Vi är bara intresserade av raderna där a har värdet V. Notationen för logisk implikation är som följer :

Följande tabell sammanfattar egenskaperna för logisk implikation:

Två propositioner formler sägs vara logiskt likvärdiga om deras sanningstabeller är identiska. Följande notering används för att uttrycka den logiska ekvivalensen:

Följande tabeller sammanfattar egenskaperna för logisk ekvivalens:

Typer av matematisk logik

Det finns olika typer av logik, särskilt om man tar hänsyn till den pragmatiska eller informella logiken som bland annat pekar på filosofi.

När det gäller matematik kan logistyperna sammanfattas som:

• Formell eller aristotelisk logik (forntida logik).
• Förslagslogik: den är ansvarig för studien av allt relaterat till giltigheten av argument och förslag med hjälp av formellt och symboliskt språk.
• Symbolisk logik: fokuserad på studiet av uppsättningar och deras egenskaper, även med ett formellt och symboliskt språk, och är djupt kopplat till propositionens logik.
• Kombinatorisk logik: en av de senast utvecklade, innebär resultat som kan utvecklas med hjälp av algoritmer.
• Logisk programmering: används i olika paket och programmeringsspråk.

områden

Bland de områden som använder sig av matematisk logik på ett oumbärligt sätt i utvecklingen av deras resonemang och argument, framträder filosofi, uppsättningsteori, talteori, algebraisk konstruktiv matematik och programmeringsspråk.

referenser

1. Aylwin, CU (2011). Logik, uppsättningar och siffror. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion till nummerteori. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Grundläggande kurs i talteori. Northern University.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hur man utvecklar matematisk logisk resonemang. University Publishing House.
5. Zaragoza, AC (sf). Talteori Redaktionella visioner