MORGAN LAWS - MATTE - 2025

Morgan l ögon är inferensregler som används i propositionslogik, som fastställer vad resultatet av att förneka en disjunktion och en koppling av förslag eller propositioneringsvariabler. Dessa lagar definierades av matematikern Augustus De Morgan.

Morgan lagar representerar ett mycket användbart verktyg för att visa giltigheten av matematiska resonemang. Senare generaliserades de inom begreppet set av matematikern George Boole.

Denna generalisering gjord av Boole motsvarar helt de ursprungliga Morgans lagar, men den är utvecklad specifikt för uppsättningar snarare än för förslag. Denna generalisering är också känd som Morgans lagar.

Granskning av propositionens logik

Innan man tittar på vad Morgans lagar specifikt är och hur de används är det bra att komma ihåg några grundläggande uppfattningar om propositionens logik. (För mer information se artikel om propositionslogik).

Inom ramen för matematisk (eller propositionell) logik är en slutsats en slutsats som ges från en uppsättning lokaler eller hypoteser. Denna slutsats, tillsammans med de ovan nämnda lokalerna, ger upphov till det som kallas matematisk resonemang.

Sådana resonemang måste vara påvisbara eller förnekas. det vill säga inte alla slutsatser eller slutsatser i matematisk resonemang är giltiga.

Felslut

En falsk slutsats från vissa hypoteser som antas vara sanna är känd som ett fel. Förfalskningarna har det speciella att det är argument som verkar korrekta, men matematiskt är det inte.

Förslagslogiken är exakt ansvarig för att utveckla och tillhandahålla metoder med vilka, utan någon tvetydighet, en matematisk resonemang kan valideras eller vederläggas; det vill säga dra ut en giltig slutsats från lokaler. Dessa metoder är kända som inferensregler, som Morgans lagar är en del av.

propositioner

De väsentliga delarna av propositionens logik är förslag. Förslag är uttalanden som kan sägas vara giltiga eller inte, men som inte kan vara sanna eller falska samtidigt. Det bör inte finnas någon tvetydighet i denna fråga.

Precis som siffror kan kombineras genom operationerna av tillägg, subtraktion, multiplikation och delning, kan förslag drivas med hjälp av de välkända logiska anslutningarna (eller anslutningar): negation (¬, "inte"), disjunktion (V , "Eller"), konjunktion (Ʌ, "och"), villkorad (→, "om …, då …") och tvåvillkor (↔, "om, och bara om").

För att arbeta mer generellt, istället för att överväga specifika förslag, övervägs propositioner variabler som representerar alla förslag, och de är vanligtvis betecknade med små bokstäver p, q, r, s, etc.

En proposition är en kombination av propositionella variabler med hjälp av några av de logiska anslutningarna. Med andra ord är det en sammansättning av propositionella variabler. De är vanligtvis betecknade med grekiska bokstäver.

Det sägs att en proposition formel logiskt innebär en annan när den senare är sant varje gång den förra är sant. Detta betecknas av:

När den logiska implikationen mellan två propositionella formler är ömsesidig - det vill säga när den föregående implikationen också är giltig i motsatt mening - sägs formlerna vara logiskt ekvivalenta, och den betecknas av

Logisk ekvivalens är en slags jämlikhet mellan propositionella formler och gör det möjligt att ersätta den ena med den andra när det är nödvändigt.

Morgan's Laws

Morgans lagar består av två logiska ekvivalenser mellan två propositionella former, nämligen:

Dessa lagar gör det möjligt att separera negationen av en disjunktion eller konjunktion som negationer av de variabler som är inblandade.

Den första kan läsas på följande sätt: negationen av en disjunktion är lika med konjunktionen av negationerna. Och den andra läser så här: negationen av en konjunktion är disjunktionen av negationer.

Med andra ord, att förneka disjunktionen mellan två propositionella variabler är likvärdigt med kopplingen av negationerna av båda variablerna. På samma sätt är det att förneka sammankopplingen av två propositionella variabler likvärdigt med disjunktionen av negationerna av båda variablerna.

Som nämnts tidigare hjälper ersättning av denna logiska ekvivalens till att bevisa viktiga resultat, tillsammans med de andra befintliga inferensreglerna. Med dessa kan du förenkla många propositioner formler, så att de är mer användbara att arbeta med.

Följande är ett exempel på ett matematiskt bevis som använder inferensregler, inklusive Morgans lagar. Specifikt visas att formeln:

Det motsvarar:

Det senare är enklare att förstå och utveckla.

Demonstration

Det är värt att nämna att giltigheten av Morgans lagar kan visas matematiskt. Ett sätt är att jämföra dina sanningstabeller.

Ställer

Samma regler för slutsatser och föreställningar om logik som tillämpas på förslag kan också utvecklas med tanke på uppsättningar. Detta är vad som kallas Booles algebra efter matematikern George Boole.

För att differentiera fallen är det nödvändigt att ändra notationen och överföra till uppsättningar, alla de uppfattningar som redan har setts om propositionslogik.

En uppsättning är en samling objekt. Uppsättningar betecknas med stora bokstäver A, B, C, X, … och elementen i en uppsättning är betecknade med små bokstäver a, b, c, x, etc. När ett element a tillhör ett set X, betecknas det med:

När det inte tillhör X är notationen:

Sättet att representera uppsättningar är genom att placera deras element i hängslen. Uppsättningen av naturliga nummer representeras till exempel av:

Uppsättningar kan också representeras utan att skriva en tydlig lista över deras element. De kan uttryckas i formen {:}. Kolon läses "så att". Till vänster om de två punkterna placeras en variabel som representerar elementen i uppsättningen, och till höger sida placeras egenskapen eller villkoret som de uppfyller. Detta är:

Till exempel kan uppsättningen av heltal större än -4 uttryckas som:

Eller likvärdigt och mer förkortat, som:

På motsvarande sätt representerar följande uttryck uppsättningarna med udda respektive jämnt antal:

Förening, korsning och komplement av uppsättningar

Därefter kommer vi att se analogerna till logiska anslutningar för uppsättningar, som är en del av de grundläggande operationerna mellan uppsättningarna.

Union och korsning

Föreningen och skärningspunkten mellan uppsättningar definieras respektive enligt följande:

Tänk till exempel på uppsättningarna:

Så du måste:

Komplement

Komplementet till en uppsättning bildas av elementen som inte hör till nämnda uppsättning (av samma typ som originalet representerar). Komplementet till en uppsättning A, betecknas med:

Till exempel, inom naturliga siffror, är komplementet till uppsättningen jämna siffror det med udda siffror, och vice versa.

För att bestämma komplementet till en uppsättning måste den universella eller huvuduppsättningen för de element som beaktas vara tydlig från början. Till exempel är det inte samma sak att betrakta komplementet av en uppsättning över naturliga siffror som över rationella siffror.

Följande tabell visar förhållandet eller analogin som finns mellan operationerna på uppsättningar som tidigare har definierats och anslutningar för propositionell logik:

Morgan's Laws for Sets

Slutligen är Morgans lagar om uppsättningar:

Med ord: komplementet till en förening är skärningspunkten mellan komplementen, och komplementet till en korsning är föreningen mellan komplementen.

Ett matematiskt bevis på den första jämlikheten skulle vara följande:

Beviset på det andra är analogt.

referenser

1. Almaguer, G. (2002). Matematik 1. Redaktionell Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logik, uppsättningar och siffror. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Introduktion till nummerteori. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Grundläggande kurs i talteori. Northern University.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hur man utvecklar matematisk logisk resonemang. University Publishing House.
6. Guevara, MH (nd). Siffror. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Talteori Redaktionella visioner