TRANSCENDENTA TAL: VAD ÄR DET, FORMLER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

De transcendentala siffrorna är de som inte kan erhållas till följd av en polynomekvation. Det motsatta av ett transcendent tal är ett algebraiskt tal, som är lösningar av en polynomekvation av typen:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Där koefficienterna a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ är rationella tal, kallade polynomernas koefficienter. Om ett tal x är en lösning på den föregående ekvationen, är detta nummer inte transcendent.

Figur 1. Två nummer av stor betydelse inom vetenskapen är transcendenta tal. Källa: publicdomainpictures.net.

Vi kommer att analysera några siffror och se om de är transcendenta eller inte:

a) 3 är inte transcendent eftersom det är en lösning av x - 3 = 0.

b) -2 kan inte vara transcendent eftersom det är en lösning av x + 2 = 0.

c) ⅓ är en lösning av 3x - 1 = 0

d) En lösning av ekvationen x ² - 2x + 1 = 0 är √2 -1, så att antalet per definition inte är transcendent.

e) Inte heller är √2 eftersom det är resultatet av ekvationen x ² - 2 = 0. Genom att kvadratera √2 resulterar det i 2, som subtraheras från 2 är lika med noll. Så √2 är ett irrationellt tal men det är inte transcendent.

Vad är transcendenta siffror?

Problemet är att det inte finns någon allmän regel för att få dem (vi kommer att säga ett sätt senare), men några av de mest kända är numret pi och Neper-numret, betecknade med respektive: π och e.

Antalet π

Siffran π framträder naturligt genom att observera att den matematiska kvoten mellan cirkelns perimeter P och dess diameter D, oavsett om det är en liten eller stor cirkel, alltid ger samma nummer, kallad pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Detta innebär att om diametern på omkretsen tas som mätenhet, för alla av dem, stora eller små, kommer omkretsen alltid att vara P = 3,14 … = π, vilket kan ses i animeringen i figur 2.

Figur 2. Längden på en cirkelns omkrets är pi gånger längden på diametern, varvid pi är ungefär 3.1416.

För att bestämma fler decimaler är det nödvändigt att mäta P och D med större precision och sedan beräkna kvoten, som har gjorts matematiskt. Slutsatsen är att kvotientens decimaler inte har något slut och aldrig upprepar sig, så antalet π förutom att vara transcendent är också irrationellt.

Ett irrationellt tal är ett tal som inte kan uttryckas som uppdelningen av två heltal.

Det är känt att alla transcendenta nummer är irrationella, men det är inte sant att alla irrationella nummer är transcendenta. Till exempel √2 är irrationellt, men det är inte transcendent.

Bild 3. De transcendenta siffrorna är irrationella, men konversationen är inte sant.

Siffran e

Det transcendenta talet e är basen för naturliga logaritmer och dess decimalimension är:

och ≈ 2.718281828459045235360….

Om du ville skriva antalet e exakt skulle det vara nödvändigt att skriva oändliga decimaler, eftersom varje transcendent tal är irrationellt, som sagt tidigare.

De första tio siffrorna i e är lätt att komma ihåg:

2,7 1828 1828 och även om det verkar följa ett repetitivt mönster uppnås detta inte i decimaler av ordning som är större än nio.

En mer formell definition av e är följande:

Detta betyder att det exakta värdet för e erhålls genom att utföra den operation som anges i denna formel, när det naturliga talet n tenderar till oändlighet.

Detta förklarar varför vi bara kan få ungefärliga ungefär, eftersom oavsett hur stort antalet n är placerat, kan ett större n alltid hittas.

Låt oss leta efter några approximationer på egen hand:

-När 100 då (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481 som knappast sammanfaller i den första decimalen med det "sanna" värdet på e.

-Om du väljer n = 10.000 har du (1 + 1 / 10.000) ^10.000 = 2.71815, vilket sammanfaller med det "exakta" värdet på e i de tre första decimalerna.

Denna process måste följas oändligt för att få det "sanna" värdet på e. Jag tror inte att vi har tid att göra det, men låt oss prova en till:

Låt oss använda n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

Det har bara fyra decimaler som matchar det exakta värdet.

Det viktiga är att förstå att ju högre värdet på n valt att beräkna e _n , desto närmare blir det att det sanna värdet. Men det verkliga värdet kommer bara att ha när n är oändligt.

Figur 4. Det visas grafiskt hur högre värdet på n, desto närmare e, men för att nå det exakta värdet måste n vara oändligt.

Andra viktiga nummer

Förutom dessa berömda nummer finns det andra transcendenta nummer, till exempel:

- 2 ^√2

-Champernowne-numret i bas 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Champernowne-numret i bas 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Gammanummeret γ eller Euler-Mascheroni konstant:

y '0,577 215 664 901 532 860 606

Vilket erhålls genom att göra följande beräkning:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

För när n är väldigt väldigt stort. För att ha det exakta värdet för Gamma-numret, skulle det vara nödvändigt att göra beräkningen med n oändlighet. Något liknande det vi gjorde ovan.

Och det finns många fler transcendenta nummer. Den stora matematikern Georg Cantor, född i Ryssland och bor mellan 1845 och 1918, visade att uppsättningen transcendenta nummer är mycket större än uppsättningen algebraiska siffror.

Formler där det transcendenta talet π visas

Omkretsens omkrets

P = π D = 2 π R, där P är omkretsen, D diametern och R radien för omkretsen. Det bör komma ihåg att:

-Diameteren på omkretsen är det längsta segmentet som sammanfogar två punkter av samma och som alltid passerar genom dess centrum,

-Radien är halva diametern och är det segment som går från mitten till kanten.

Area av en cirkel

A = π R ² = ¼ π D ²

Ytan på en sfär

S = 4 π R2 ^.

Ja, även om det kanske inte verkar så är ytan på en sfär densamma som i fyra cirklar med samma radie som sfären.

Sfärens volym

V = 4/3 π R ³

övningar

- Övning 1

"EXÓTICA" -pizzeriaet säljer pizzor med tre diametrar: små 30 cm, medelstora 37 cm och stora 45 cm. En pojke är väldigt hungrig och han insåg att två små pizzor kostar samma som en stor. Vad kommer att vara bättre för honom att köpa två små pizzor eller en stor?

Bild 5.- En pizzas area är proportionell mot radien kvadrat, pi är proportionalitetskonstanten. Källa: Pixabay.

Lösning

Ju större området, desto större mängd pizza, av denna anledning kommer arean för en stor pizza att beräknas och jämföras med den för två små pizzor:

Område med den stora pizzaen = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Arean av den lilla pizzaen = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Därför kommer två små pizzor att ha ett område av

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Det är tydligt: ​​du kommer att få en större mängd pizza som köper en enda stor än två små.

- Övning 2

"EXÓTICA" -pizzeriaet säljer också en hemisfärisk pizza med en radie på 30 cm för samma pris som en rektangulär mätning 30 x 40 cm på varje sida. Vilken skulle du välja?

Bild 6.- Ytan på en halvkula är två gånger basens cirkulära yta. Källa: F. Zapata.

Lösning

Som nämnts i föregående sektion är ytan på en sfär fyra gånger den för en cirkel med samma diameter, så en halvkula med en diameter på 30 cm kommer att ha:

30 cm hemisfärisk pizza: 1413,72 cm ² (två gånger en cirkulär med samma diameter)

Rektangulär pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Den hemisfäriska pizzaen har ett större område.

referenser

1. Fernández J. Numret e. Ursprung och nyfikenheter. Återställd från: soymatematicas.com
2. Njut av matte. Eulers nummer. Återställd från: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierad. CO-BO-utgåvor.
4. García, M. Antalet e i elementär kalkyl. Återställs från: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI-nummer. Återställd från: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendenta siffror. Återställd från: wikipedia.com