NULLVINKEL: DEFINITION OCH EGENSKAPER, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Den null vinkeln är en vars mått är 0, både i grader och i radianer eller ett annat system för vinkelmätning. Därför saknar den bredd eller öppning, som den som bildas mellan två parallella linjer.

Även om dess definition låter tillräckligt enkel, är nollvinkeln mycket användbar i många fysik- och teknikapplikationer, såväl som för navigering och design.

Bild 1. Mellan hastigheten och accelerationen för bilen finns det en nollvinkel, därför går bilen snabbare och snabbare. Källa: Wikimedia Commons.

Det finns fysiska mängder som måste anpassas parallellt för att uppnå vissa effekter: om en bil rör sig i en rak linje längs en motorväg och mellan dess hastighetsvektor v och dess accelerationsvektor a finns det 0 °, rör sig bilen snabbare och snabbare, men om bilen bromsar, dess acceleration är motsatt till dess hastighet (se figur 1).

Följande bild visar olika typer av vinklar inklusive nollvinkeln till höger. Som framgår saknar 0 ° -vinkeln bredd eller öppning.

Bild 2. Vinkeltyper, inklusive nollvinkeln. Källa: Wikimedia Commons. Orias.

Exempel på nollvinklar

Parallella linjer är kända för att bilda en nollvinkel med varandra. När du har en horisontell linje är den parallell med x-axeln för det kartesiska koordinatsystemet, därför är dess lutning med avseende på 0. Med andra ord har horisontella linjer noll lutning.

Bild 3. De horisontella linjerna har noll lutning. Källa: F. Zapata.

Även de trigonometriska förhållandena för nollvinkeln är 0, 1 eller oändlighet. Därför är nollvinkeln närvarande i många fysiska situationer som involverar operationer med vektorer. Dessa skäl är:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sek 0 ° = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Och de kommer att vara användbara för att analysera några exempel på situationer där förekomsten av nollvinkeln spelar en grundläggande roll:

- Effekter av nollvinkeln på fysiska storlekar

Vector tillägg

När två vektorer är parallella är vinkeln mellan dem noll, såsom ses i figur 4a ovan. I detta fall utförs summan av båda genom att placera den ena efter den andra och storleken på summavektorn är summan av storleken på tillägg (figur 4b).

Figur 4. Summan av parallella vektorer, i detta fall är vinkeln mellan dem en nollvinkel. Källa: F. Zapata.

När två vektorer är parallella är vinkeln mellan dem noll, såsom ses i figur 4a ovan. I detta fall utförs summan av båda genom att placera den ena efter den andra och storleken på summavektorn är summan av storleken på tillsatserna (figur 4b)

Vridmoment eller vridmoment

Vridmomentet eller vridmomentet orsakar en kropps rotation. Det beror på storleken på den applicerade kraften och hur den appliceras. Ett mycket representativt exempel är skiftnyckeln i figuren.

För bästa vrideffekt appliceras kraft vinkelrätt mot skiftnyckelhandtaget, antingen uppåt eller nedåt, men ingen rotation förväntas om kraften är parallell med handtaget.

Bild 5. När vinkeln mellan positions- och kraftvektorerna är noll produceras inget vridmoment och därför finns det ingen snurreffekt. Källa: F. Zapata.

Matematiskt definieras vridmomentet t som vektorprodukten eller tvärprodukten mellan vektorerna r (positionsvektor) och F (kraftvektor) i figur 5:

τ = r x F

Vridmomentets storlek är:

τ = r F sin θ

Θ är vinkeln mellan r och F . När sin θ = 0 är vridmomentet noll, i detta fall θ = 0º (eller även 180º).

Elektriskt fältflöde

Elektriskt fältflöde är en skalmängd som beror på intensiteten hos det elektriska fältet samt orienteringen av ytan genom vilken det passerar.

I figur 6 finns en cirkulär yta av område A genom vilket de elektriska fältlinjerna E passerar . Ytans orientering ges av den normala vektorn n . På vänster bildar fältet och den normala vektorn en godtycklig akut vinkel θ, i mitten bildar de en nollvinkel med varandra och till höger är de vinkelräta.

När E och n är vinkelräta, korsar fältlinjerna inte ytan och därför är flödet noll, medan när vinkeln mellan E och n är noll, korsar linjerna helt ytan.

Att beteckna det elektriska fältflödet med den grekiska bokstaven Φ (läs “fi”), dess definition för ett enhetligt fält som i figuren, ser ut så här:

Φ = E • n A

Punkten i mitten av båda vektorerna betecknar punktprodukten eller skalprodukten, som alternativt definieras enligt följande:

Φ = E • n A = EAcosθ

Det djärva och pilarna ovanför bokstaven är resurser för att skilja mellan en vektor och dess storlek, som betecknas med normala bokstäver. Eftersom cos 0 = 1 är flödet maximalt när E och n är parallella.

Figur 6. Det elektriska fältflödet beror på orienteringen mellan ytan och det elektriska fältet. Källa: F. Zapata.

övningar

- Övning 1

Två krafter P och Q verkar samtidigt på ett punktobjekt X, båda krafterna bildar initialt en vinkel θ mellan dem. Vad händer med storleken på den resulterande kraften när θ minskar till noll?

Figur 7. Vinkeln mellan två krafter som verkar på en kropp minskar tills den avbryts, i vilket fall storleken på den resulterande kraften får sitt maximala värde. Källa: F. Zapata.

Lösning

Storleken på den resulterande kraften Q + P ökar gradvis tills den är maximal när Q och P är helt parallella (figur 7 höger).

- Övning 2

Ange om nollvinkeln är en lösning av följande trigonometriska ekvation:

Lösning

En trigonometrisk ekvation är en där det okända är en del av argumentet för ett trigonometriskt förhållande. För att lösa den föreslagna ekvationen är det bekvämt att använda formeln för den dubbla vinkelns kosinus:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

För på detta sätt blir argumentet på vänster sida x istället för 2x. Så:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Å andra sidan cos ² x + sin ² x = 1, så:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Termen cos ² x avbryter och kvarstår:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nu görs följande variabla förändring: sinx = u och ekvationen blir:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Vars lösningar är: u = 0 och u = -4. Återvända förändringen skulle vi ha två möjligheter: sin x = 0 och sinx = -4. Denna sista lösning är inte hållbar, eftersom sinus för någon vinkel är mellan -1 och 1, så vi står kvar med det första alternativet:

sin x = 0

Därför är x = 0º en lösning, men alla vinklar vars sinus är 0 fungerar också, som också kan vara 180º (π radianer), 360º (2 π radianer) och respektive negativ.

Den mest allmänna lösningen av den trigonometriska ekvationen är: x = kπ där k = 0, ± 1, ± 2, ± 3, … k ett heltal.

referenser

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 3. Partikelsystem. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysik för vetenskap och teknik. Volym 5. Elektrisk interaktion. Redigerad av Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Typer vinklar. Återställd från: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, Trigonometry and Analytical Geometry. McGraw Hill Interamericana.