KOMPLETTERANDE VINKLAR: VAD ÄR DE, BERÄKNING, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Två eller fler är kompletterande vinklar om summan av deras mått motsvarar måttet på en rak vinkel. Mätningen på en rak vinkel, även kallad en plan vinkel, i grader är 180º och i radianer är den π.

Vi finner till exempel att de tre inre vinklarna i en triangel är kompletterande, eftersom summan av deras mått är 180º. Tre vinklar visas i figur 1. Av ovanstående följer att a och p är kompletterande, eftersom de är intill varandra och deras summa fullbordar en rak vinkel.

Figur 1: a och ß är kompletterande. a och y är kompletterande. Källa: F. Zapata.

I samma figur har vi också vinklarna α och γ som också är kompletterande, eftersom summan av deras mått är lika med måttet på en plan vinkel, det vill säga 180º. Det kan inte sägas att vinklarna β och γ är kompletterande eftersom eftersom båda vinklarna är stumpa är deras mått större än 90º och därför ökar deras summa 180º.

Källa: lifeder.com

I stället kan det sägas att måttet på vinkeln ß är lika med måttet på vinkeln y, eftersom om ß är kompletterande till α och γ är kompletterande till α, så är β = γ = 135º.

exempel

I följande exempel ombeds att hitta de okända vinklarna, indikerade med frågetecken i figur 2. De sträcker sig från de enklaste exemplen till några lite mer detaljerade att läsaren bör vara mer försiktig.

Figur 2. Flera utarbetade exempel på kompletterande vinklar. Källa: F. Zapata.

Exempel A

I figuren har vi att de intilliggande vinklarna α och 35º lägger till en plan vinkel. Det vill säga α + 35º = 180º och därför är det sant att: α = 180º- 35º = 145º.

Exempel B

Eftersom ß är kompletterande med vinkeln 50º, följer det att β = 180º - 50º = 130º.

Exempel C

Från figur 2C kan följande summa observeras: γ + 90º + 15º = 180º. Det vill säga, y är kompletterande med vinkeln 105º = 90º + 15º. Det dras då slutsatsen att:

γ = 180º- 105º = 75º

Exempel D

Eftersom X kompletterar 72º följer det att X = 180º - 72º = 108º. Y är dessutom kompletterande med X, så Y = 180º - 108º = 72º.

Och slutligen är Z kompletterande med 72º, därför Z = 180º - 72º = 108º.

Exempel E

Vinklarna 5 och 2 är kompletterande, därför är δ + 2δ = 180º. Vilket innebär att 3δ = 180º, och detta i sin tur tillåter oss att skriva: δ = 180º / 3 = 60º.

Exempel F

Om vi ​​kallar vinkeln mellan 100º och 50º U, är U kompletterande för båda, eftersom det observeras att deras summa fullbordar en plan vinkel.

Det följer omedelbart att U = 150º. Eftersom U är motsatt av toppunktet till W, så är W = U = 150º.

övningar

Tre övningar föreslås nedan, i alla måste värdet på vinklarna A och B i grader hittas, så att förhållandena som visas i figur 3. Konceptet med kompletterande vinklar används för att lösa dem alla.

Figur 3. Figur för att lösa övningar I, II och III om kompletterande vinklar. Alla vinklar är i grader. Källa: F. Zapata.

- Träning I

Bestäm värdena för vinklarna A och B från del I) i figur 3.

Lösning

A och B är kompletterande, från vilka vi har att A + B = 180 grader, då är uttrycket för A och B ersatt som en funktion av x, som det visas på bilden:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

En första ordning linjär ekvation erhålls. För att lösa det grupperas termerna nedan:

6 x + 60 = 180

Genom att dela båda medlemmarna med 6 har vi:

x + 10 = 30

Och slutligen löser det att x är värt 20º.

Nu måste vi ansluta värdet på x för att hitta de önskade vinklarna. Därför är vinkeln A: A = 20 +15 = 35º.

Och för sin del är vinkel B B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Övning II

Hitta värdena för vinklarna A och B från del II) i figur 3.

Lösning

Eftersom A och B är kompletterande vinklar, har vi att A + B = 180 grader. Att ersätta uttrycket för A och B som en funktion av x som ges i del II) i figur 3, har vi:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Återigen erhålls en första gradsekvation, för vilken termerna måste grupperas bekvämt:

6 x + 60 = 180

Genom att dela båda medlemmarna med 6 har vi:

x + 10 = 30

Från vilket följer att x är värt 20º.

Med andra ord, vinkeln A = -2 * 20 + 90 = 50º. Medan vinkel B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Övning III

Bestäm värdena för vinklarna A och B från del III) i figur 3 (i grönt).

Lösning

Eftersom A och B är kompletterande vinklar, har vi att A + B = 180 grader. Vi måste ersätta uttrycket för A och B som en funktion av x som ges i figur 3, från vilken vi har:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Genom att dela båda medlemmarna med 12 för att lösa för värdet av x har vi:

x + 5 = 15

Slutligen konstateras att x är värt 10 grader.

Nu fortsätter vi med att ersätta vinkeln A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Och för vinkel B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Kompletterande vinklar i två paralleller skurna av en sekant

Bild 4. Vinklar mellan två paralleller skära av en sekant. Källa: F. Zapata.

Två parallella linjer klippta av en sekant är en vanlig geometrisk konstruktion i vissa problem. Mellan sådana linjer bildas 8 vinklar som visas i figur 4.

Av dessa 8 vinklar är några par vinklar kompletterande, vilket vi listar nedan:

1. De yttre vinklarna A och B, och de yttre vinklarna G och H
2. De inre vinklarna D och C, och de inre vinklarna E och F
3. De yttre vinklarna A och G och de yttre vinklarna B och H
4. De inre vinklarna D och E och interiörerna C och F

För fullständighet benämns också vinklarna lika med varandra:

1. De interna alternativen: D = F och C = E
2. De externa alternativen: A = H och B = G
3. Motsvarande: A = E och C = H
4. Motsatserna vid toppunktet A = C och E = H
5. Motsvarande: B = F och D = G
6. Vertex motsatser B = D och F = G

- Övning IV

Med hänvisning till figur 4, som visar vinklarna mellan två parallella linjer som är skurna av en sektion, bestämmer värdet på alla vinklar i radianer, medvetande om att vinkeln A = π / 6 radianer.

Lösning

A och B är kompletterande yttre vinklar så B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

referenser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Centralamerikanska kulturella.
2. Matematiska lagar och formler. Vinkelmätningssystem. Återställd från: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Återställd från: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Kompletterande vinklar. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportband. Återställd från: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historia, delar, operation. Återställd från: lifeder.com