De typer av integraler som vi hittar i beräkningen är de obestämda integralerna och de definitiva integralerna. Även om definitiva integraler har många fler applikationer än obestämda integraler, är det nödvändigt att först lära sig hur man löser obegränsade integraler.
En av de mest attraktiva tillämpningarna av bestämda integraler är beräkningen av volymen på en fast substans av revolution. Båda typerna av integraler har samma egenskaper som linearitet och integrationsteknikerna beror inte heller på typen av integral.
Revolution av solid
Men trots att det är väldigt lika, finns det en huvudskillnad; i den första typen av integral är resultatet en funktion (som inte är specifik) medan i den andra typen är resultatet ett tal.
Grundläggande typer av integraler
Integralsvärlden är mycket bred, men inom den kan vi skilja två grundläggande typer av integraler som har stor tillämpbarhet i vardagen.
1- Obestämda integraler
Om F '(x) = f (x) för alla x i domänen till f, säger vi att F (x) är ett antiderivativ, en primitiv eller en integral av f (x).
Låt oss å andra sidan observera att (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), vilket innebär att integralen i en funktion inte är unik, eftersom vi ger olika värden till konstanten C kommer vi att få olika primitiva funktioner.
Av denna anledning kallas F (x) + C den obestämda integralen av f (x) och C kallas integrationskonstanten och vi skriver det på följande sätt
Obestämd integral
Som vi ser är den obestämda integralen av funktionen f (x) en familj av funktioner.
Om du till exempel vill hitta den obestämda integralen av funktionen f (x) = 3x², måste du först hitta ett antiderivativ av f (x).
Det är lätt att se att F (x) = x³ är ett antiderivativ, eftersom F '(x) = 3x². Därför kan man dra slutsatsen att
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Definitiva integraler
Låt y = f (x) vara en verklig, kontinuerlig funktion på ett stängt intervall och låt F (x) vara ett antiderivativ för f (x). Den definitiva integralen av f (x) mellan gränserna a och b kallas numret F (b) -F (a) och betecknas på följande sätt
Grundläggande teorem för kalkyl
Formeln som visas ovan är bättre känd som "The Fundamental Theorem of Calculus." Här kallas "a" den nedre gränsen och "b" kallas den övre gränsen. Som ni ser är den definitiva integralen av en funktion ett nummer.
I detta fall, om den definitiva integralen av f (x) = 3x² beräknas i intervallet, kommer ett nummer att erhållas.
För att bestämma detta antal väljer vi F (x) = x³ som antidivativ för f (x) = 3x². Sedan beräknar vi F (3) -F (0) vilket ger oss resultatet 27-0 = 27. Sammanfattningsvis är den definitiva integralen av f (x) på intervallet 27.
Det kan noteras att om G (x) = x³ + 3 väljs är G (x) ett antiderivativ av f (x) som skiljer sig från F (x), men detta påverkar inte resultatet eftersom G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Av denna anledning visas inte konstantens integration i de definitiva integralerna.
En av de mest användbara applikationerna av denna typ av integral är att det gör det möjligt för oss att beräkna arean (volymen) för en plan figur (av ett fast revolutionsfasta), skapa lämpliga funktioner och integrationsgränser (och en rotationsaxel).
Inom de definitiva integralerna kan vi hitta olika förlängningar av det, såsom linjeintegraler, ytintegraler, felaktiga integraler, flera integraler, bland andra, alla med mycket användbara applikationer inom vetenskap och teknik.
referenser
- Casteleiro, JM (2012). Är det lätt att integrera? Självstudiehandbok. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrerad kalkyl (illustrerad red.). Madrid: ESIC-redaktion.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: ett problemlösningsmetod (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrerad kalkyl. Atlantic Publishers & Distributors.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (nionde upplagan). Prentice Hall.