AXIAL SYMMETRI: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE

Den axiella symmetri är när punkterna i en figur sammanfaller med punkterna i en annan figur med en rak bisector som kallas symmetriaxeln. Det kallas också radiell, roterande eller cylindrisk symmetri.

Det appliceras vanligtvis i geometriska figurer, men det är lätt att se i naturen, eftersom det finns djur som fjärilar, skorpioner, nyckelpigor eller människor som presenterar axiell symmetri.

Axial symmetri visas på detta foto av Toronto stadshorisont och dess reflektion i vattnet. (Källa: pixabay)

Hur man hittar axialsymmetriskt

För att hitta den axiella symmetrin P 'för en punkt P med avseende på en linje (L) utförs följande geometriska operationer:

1.- Vinkelrätt mot linjen (L) som passerar genom punkt P.

2.- Uppfattningen av de två linjerna bestämmer en punkt O.

3.- Längden på segmentet PO mäts, sedan kopieras denna längd till linjen (PO) med början från O i riktningen från P till O, bestämning av punkten P '.

4.- Punkt P 'är den axiella symmetriska för punkten P med avseende på axeln (L), eftersom linjen (L) är bisektorn i segmentet PP', som är O mittpunkten för nämnda segment.

Figur 1. Två punkter P och P 'är axiellt symmetriska mot en axel (L) om nämnda axel är en halvdel av segmentet PP'

Egenskaper för axiell symmetri

- Axial symmetri är isometrisk, det vill säga avståndet för en geometrisk figur och dess motsvarande symmetri bevaras.

- Mätningen på en vinkel och dess symmetriska är lika.

- Den axiella symmetrin för en punkt på symmetriaxeln är själva punkten.

- Den symmetriska linjen för en linje parallell med symmetriaxeln är också en linje parallell med nämnda axel.

- En sektionslinje till symmetriaxeln har som en symmetrisk linje en annan sektionslinje som i sin tur korsar symmetriaxeln på samma punkt på den ursprungliga linjen.

- Den symmetriska bilden av en linje är en annan linje som bildar en vinkel med symmetriaxeln av samma mått som den för den ursprungliga linjen.

- Den symmetriska bilden av en linje vinkelrätt mot symmetriaxeln är en annan linje som överlappar den första.

- En linje och dess axiella symmetriska linje utgör en vinkel vars halva är symmetriaxeln.

Bild 2. Axial symmetri bevarar avstånd och vinklar.

Exempel på axiell symmetri

Naturen visar många exempel på axiell symmetri. Till exempel kan du se symmetri på ansikten, insekter som fjärilar, reflektionen på lugna vattenytor och speglar eller bland växter, bland många andra.

Figur 3. Denna fjäril visar nära perfekt axiell symmetri. (Källa: pixabay)

Bild 4. Denna flickas ansikte har axiell symmetri. (Källa: pixabay)

Axiella symmetriövningar

Övning 1

Vi har triangeln med vertikalerna A, B och C vars kartesiska koordinater är respektive A = (2, 5), B = (1, 1) och C = (3,3). Hitta de kartesiska koordinaterna för triangeln symmetrisk kring Y-axeln (ordinataxel).

Lösning: Om en punkt P har koordinater (x, y), är dess symmetri med avseende på ordinataxeln (Y-axeln) P '= (- x, y). Med andra ord, värdet på dess abscissa ändrar tecken, medan ordinatets värde förblir detsamma.

I det här fallet kommer den symmetriska triangeln med hörn A ', B' och C 'att ha koordinater:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) och C' = (- 3, 3) såsom kan ses i figur 6.

Figur 6. Om en punkt har koordinater (x, y) kommer dess symmetriska med avseende på Y-axeln (ordinataxeln) att ha koordinater (-x, y).

Övning 2

Med hänvisning till triangel ABC och dess symmetriska A'B'C från övning 1, kontrollera att motsvarande sidor av den ursprungliga triangeln och dess symmetriska har samma längd.

Lösning: För att hitta avståndet eller längden på sidorna använder vi den euklidiska avståndsformeln:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (av - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Längden på motsvarande symmetriska sida A'B beräknas nedan:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

På detta sätt verifieras det att axiell symmetri bevarar avståndet mellan två punkter. Proceduren kan upprepas för de andra två sidorna av triangeln och dess symmetriska för att kontrollera invariansen i längd. Till exempel -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Övning 3

I förhållande till triangeln ABC och dess symmetriska A'B'C från övning 1, kontrollera att motsvarande vinklar för den ursprungliga triangeln och dess symmetriska har samma vinkelmått.

Lösning: För att bestämma måtten för vinklarna BAC och B'A'C 'kommer vi först att beräkna skalärprodukten för vektorerna AB med AC och sedan den skalära produkten av A'B' med A'C ' .

Kom ihåg att:

A = (2, 5), B = (1, 1) och C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) och C' = (- 3, 3).

Det har:

AB = <1-2, 1-5> och AC = <3-2, 3-5>

liknande

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> och AC = <-3 + 2, 3-5>

Då hittas följande skalprodukter:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Liknande

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1 (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Måttet på vinkeln BAC är:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4 123-2236)) = 40,6 °

På samma sätt är måttet på vinkel B'A'C:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4 123-2236)) = 40,6 °

Slutsatsen att axiell symmetri bevarar måtten på vinklarna.

Övning 4

Låt en punkt P vara av koordinater (a, b). Hitta koordinaterna för dess axiella symmetri P 'med avseende på linjen y = x.

Lösning: Vi kommer att kalla (a ', b') koordinaterna för den symmetriska punkten P 'med avseende på linjen y = x. Mittpunkten M i segmentet PP 'har koordinater ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) och finns också på linjen y = x, så följande jämlikhet gäller:

a + a '= b + b'

Å andra sidan har segmentet PP 'lutning -1 eftersom det är vinkelrätt mot linjen y = x med lutning 1, så följande jämlikhet gäller:

b - b '= a' -a

Genom att lösa för de två tidigare jämlikheterna a 'och b' dras slutsatsen att:

a '= av den b' = a.

Det vill säga med tanke på en punkt P (a, b) är dess axiella symmetri med avseende på linjen y = x P '(b, a).

referenser

Arce M., Blázquez S och andra. Transformationer av planet. Återställd från: educutmxli.files.wordpress.com
Beräkning cc. Axial symmetri. Återställd från: calculo.cc
Superprof. Axial symmetri. Återställd från: superprof.es
wikipedia. Axial symmetri. Återställd från: es.wikipedia.com
wikipedia. Cirkulär symmetri. Återställd från: en.wikipedia.com

AXIAL SYMMETRI: EGENSKAPER, EXEMPEL OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2026